【2023関西大学】f'(x)=0の正の解。f'(x)=ef(x)+(e^ex)/x

解答・解説

(１)　$\displaystyle\frac{f(x)}{e^{ex}}$ の導関数を求めよ．

$f^{\prime}(x)=ef(x)+\displaystyle\frac{e^{ex}}{x}$ ・・・①

$\left\{\displaystyle\frac{f(x)}{e^{ex}}\right\}^{\prime}=\displaystyle\frac{f^{\prime}(x)\cdot e^{ex}-f(x)\cdot\left(e^{ex}\right)^{\prime}}{e^{2ex}}$

$=\displaystyle\frac{f^{\prime}(x)-ef(x)}{e^{ex}}$

①から $f^{\prime}(x)-ef(x)=\displaystyle\frac{e^{ex}}{x}$ より

$\left\{\displaystyle\frac{f(x)}{e^{ex}}\right\}^{\prime}=\displaystyle\frac{1}{x}$

(２)　$f(x)$ を求めよ．

(１)より

$\displaystyle\frac{f(x)}{e^{ex}}=\log{x}+C$ (ただし $C$ は積分定数)

$f(1)=0$ より

$\displaystyle\frac{f(1)}{e^{e}}=\log{1}+C$ $\iff$ $C=0$

$\displaystyle\frac{f(x)}{e^{ex}}=\log{x}$

よって，$f(x)=e^{ex}\log{x}$

(３)　$\displaystyle\frac{f^{\prime}(x)}{e^{ex}}$ の増減，$f^{\prime}(x)=0$ の正の解

①より

$\displaystyle\frac{f^{\prime}(x)}{e^{ex}}=\displaystyle\frac{ef(x)+\displaystyle\frac{e^{ex}}{x}}{e^{ex}}$

(２)より

$\displaystyle\frac{f^{\prime}(x)}{e^{ex}}=e\log{x}+\displaystyle\frac{1}{x}=g(x)$ とおく．

$g^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{e}{x}-\displaystyle\frac{1}{x^2}$

$=\displaystyle\frac{ex-1}{x^2}$

$g^{\prime}(x)=0$ のとき $x=\displaystyle\frac{1}{e}$

$g\left(\displaystyle\frac{1}{e}\right)=e\log{\displaystyle\frac{1}{e}}+e=0$

よって $g(x)=\displaystyle\frac{f^{\prime}(x)}{e^{ex}}=0$ を満たす正の解は $x=\displaystyle\frac{1}{e}$

これは，$f^{\prime}(x)=0$ の解と一致するので

$f^{\prime}(x)=0$ の正の解は $x=\displaystyle\frac{1}{e}$