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【2015大阪大学】不等式の証明:sin,cosの置き換え|頻出・重要入試問題

数学(大学入試問題)

【2015大阪大学】

実数 \(x\) , \(y\) が \(|x|≦1\) と \(|y|≦1\) を満たすとき,不等式

\(0≦x^2+y^2-2x^2y^2+2xy\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}≦1\)

が成り立つことを示せ.

解答・解説

\(P=x^2+y^2-2x^2y^2+2xy\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\) とおく.

\(|x|≦1\),\(|y|≦1\) より

\(x=\cos\alpha\) , \(y=\cos\beta\) ( \(0≦\alpha≦\pi\) , \(0≦\beta≦\pi\) ) とおくことができる.

このとき,

\(P=\cos^2\alpha+\cos^2\beta-2\cos^2\alpha \cos^2\beta+2\cos\alpha \cos\beta\sqrt{1-\cos^2\alpha}\sqrt{1-\cos^2\beta}\)

また,

\(\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{\sin^2\theta}=|\sin\theta|\) であり,

\(0≦\theta≦\pi\) のとき \(|\sin\theta|=\sin \theta\) より

\(P=\cos^2\alpha+\cos^2\beta-2\cos^2\alpha\cos^2\beta+2\cos\alpha\cos\beta\sin\alpha\sin\beta\)

ここで,

\(\cos^2\alpha+\cos^2\beta\)\(-2\cos^2\alpha\cos^2\beta\)

\(=\)\(\cos^2\alpha\)\(-\cos^2\alpha\cos^2\beta\)\(+\cos^2\beta\)\(-\cos^2\alpha\cos^2\beta\)

\(=\cos^2\alpha(1-\cos^2\beta)+\cos^2\beta(1-\cos^2\alpha)\)

\(=\cos^2\alpha\sin^2\beta+\cos^2\beta\sin^2\alpha\) より

\(P=\cos^2\alpha\sin^2\beta+\cos^2\beta\sin^2\alpha+2\cos\alpha\cos\beta\sin\alpha\sin\beta\)

\(=(\cos\alpha\sin\beta+\cos\beta\sin\alpha)^2\)

\(=\sin^2(\alpha+\beta)\)

\(0≦\alpha+\beta≦2\pi\) より

\(-1≦\sin(\alpha+\beta)≦1\) なので,

\(0≦\sin^2(\alpha+\beta)≦1\)

したがって,\(0≦P≦1\) が成り立つ.

\(P≧0\) であることの別解証明

\(P≧0\) であることを示すとき

\(P=(  )^2\) の形になってほしい!!

という気持ちから式変形を考えてみましょう!

そうすると,\(2xy\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\) に注目して

\(\left(x\sqrt{1-x^2}+y\sqrt{1-y^2}\right)^2\)

\(=x^2(1-x^2)+2xy\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}+y^2(1-y^2)\)

\(=x^2+y^2-2x^2y^2+2xy\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}-x^4-y^4\) であるから

\(P=\left(x\sqrt{1-x^2}+y\sqrt{1-y^2}\right)^2+x^4+y^4-2x^2y^2\)

\(=\left(x\sqrt{1-x^2}+y\sqrt{1-y^2}\right)^2+(x^2-y^2)^2≧0\) が成り立つ.

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