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【2022共通テスト】数学ⅠA:第4問 整数の性質|1次不定方程式11^5x-2^5y=1

数学(大学入試問題)

【2022数学ⅠA】第4問(整数の性質)

(1)問題と解答・解説《ア〜ク》

解答・解説《ア〜ク》

\(5^4=625\) を \(2^4=16\) で割ると

商は \(39\) , 余りは \(1\) であるから

\(5^4=2^4\times 39+1\)

\(\iff\) \(5^4\times 1-2^4\times 39=1\)

よって,\(5^4x-2^4y=1\) ・・・① の整数解のうち

\(x\) が正の整数で最小になるのは

\(x=1\) , \(y=39\) ・・・《ア〜ウ》

\(1\) 次不定方程式の解き方については、格子点を利用しましょう!

共通テスト形式(マーク)では、時間短縮になります!

【頻出】1次不定方程式 (ax+by=c)の解法2つ(模範解答と時短裏技)

\(5^4x-2^4y=1\) ・・・① の整数解は

直線 \(y=\displaystyle\frac{5^4}{2^4}x-\displaystyle\frac{1}{2^4}\) 上の格子点を表す.

\((1,39)\) は格子点の \(1\) つより,整数 \(k\) を用いて

\(x=2^4k+1\) , \(y=5^4k+39\) が①の整数解となる.

これらの中で,\(x\) が \(2\) 桁の正の整数で最小になるのは \(k=1\) のとき

このとき,\(x=17\) , \(y=664\) ・・・《エ〜ク》

(2)問題と解答・解説《ケ〜コ》

解答・解説《ケ〜コ》

\(625^2=\left(5^4\right)^2=\)\(5^8\) ・・・《ケ》 

(1)より \(5^4=2^4\times 39+1\) より,\(m=39\) とすると

\(5^4=2^4m+1\)

これを \(2\) 乗すると

\(\left(5^4\right)^2=(2^4m+1)^2\)

\(625^2=2^8m^2+2^5m+1\) ・・・《コ》

これより,\(625^2\) を \(5^5\) で割ったときの余りは \(0\) , \(2^5\) で割ったときの余りは \(1\) である.

(3)問題と解答・解説《サ〜ツ》

解答・解説《サ〜ツ》

\(5^5x-2^5y=1\) ・・・② より

\(5^5x=2^5y+1\) であるから

\(5^5x\) を \(5^5\) で割ったときの余りは \(0\) , \(2^5\) で割ったときの余りは \(1\) である.

また(2) の結果から,

\(5^5x-625^2\) は \(5^5\) かつ \(2^5\) で割り切れる.

\(5^5\) と \(2^5\) は互いに素であるから,\(5^5x-625^2\) は \(5^5\times 2^5\) の倍数となる.

よって整数 \(l\) を用いて

\(5^5x-625^2=5^5\times 2^5l\)・・・③

③の両辺を \(5^5\) で割ると

\(x-5^3=2^5l\)

②の整数解のうち,\(x\) が \(3\) 桁の正の整数で最小となるのは,\(l=0\) のとき

このとき,\(x=125\) ・・・《サ〜ス》

②より

\(5^5\times 125-2^5y=1\) \(\iff\) \(y=12207\) ・・・《セ〜ツ》

(4)問題と解答・解説《テ〜ノ》

解答・解説《テ〜ノ》

試験本番であれば、この問題は後回し(または捨てる)すべき問題です!

共通テストは時間との勝負でもありますので、他の問題に時間を使いましょう!

(4)については、「2022共通テスト整数「11^5x-2^5y=1」誘導なし(1次不定方程式・合同式・パスカルの三角形)」を参考にしてください!

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