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2022北海道大学・理・第4問【確率】同じ文字を含む円順列・条件付き確率

数学(大学入試問題)

【2022北海道大学・理】

考え方

場合の数と円順列の違い

細かな違いを言い出せばきりがありませんが、問題を解いていく上で最も重要な違いとしては、

確率の問題では、すべてのものを区別する

場合の数・確率が苦手な方の多くは、ただただ公式に当てはめようとしたり、基本的な違いを理解していないことがほとんどです。また、ある一定以上の点数が取れない方の多くも、意外とそのような基本的な違いを理解していないケースが多いです。

場合の数・確率に対して、少しでも苦手意識を持っている人は、現時点での確率の点数に関わらず、一度、安田亨の「ハッとめざめる確率」に取り組んで見て下さい。

 

この1冊で、場合の数・確率に対する考え方の基礎基本を身に付けることができ、そして発展問題への考え方を身に付けることができます!

 

円順列

異なる \(n\) 個のものの円順列の総数は、\((n-1)!\) 通り

※回転して一致するものは同じものであると考えるため、\(1\) 文字を固定して、その他のものを今まで通りに並べる.

 

条件付き確率

事象 \(A\) が起こったときに、事象 \(B\) が起こる確率を条件付き確率といい、\(P_{A}B\) と表す.

\(P_{A}B=\displaystyle\frac{n(A\cap B)}{n(A)}=\displaystyle\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\)

解答

(1)

すべての玉を区別して考える.

つまり、\(O\) については、\(O_{1}\)、\(O_{2}\)、

\(K\) については、\(K_{1}\)、\(K_{2}\) として考える.

このとき、異なる \(8\) 個の玉で円順列をつくる総数は、

\((8-1)!=7!\) 通り

この中で、時計回りに「\(HOKKAIDO\)」と並ぶのは、

\(O_{1}\)、\(O_{2}\) と \(K_{1}\)、\(K_{2}\) の並び替えを考えた

\(2!\times2!\) 通り

したがって求める確率は、\(\displaystyle\frac{2!\times2!}{7!}=\displaystyle\frac{1}{1260}\)

(2)

子音が隣り合わない場合を考える.

母音の\(O_{1}\)、\(O_{2}\)、\(A\)、\(I\) の異なる \(4\) 個の円順列の総数は

\((4-1)!=3!\) 通り

次に、子音が隣り合わないとき、上で並べた \(4\) 個の玉の間の \(4\) カ所に子音の \(H\)、\(K_{1}\)、\(K_{2}\)、\(D\) を \(1\) つずつ並べていけばよいので、子音の並べ方は \(4!\) 通り

したがって、子音が隣り合わない確率は、\(\displaystyle\frac{3!\times4!}{7!}=\displaystyle\frac{1}{35}\) であるから、

求める確率は、\(1-\displaystyle\frac{1}{35}=\displaystyle\frac{34}{35}\)

 

(3)

子音の \(K_{1}\)、\(K_{2}\) だけが隣り合うときを考える.

\(2\) 文字 \(K_{1}K_{2}\) を固定し、母音の\(O_{1}\)、\(O_{2}\)、\(A\)、\(I\) の異なる \(4\) 個を並べると、\(4!\) 通り

また、\(K_{1}K_{2}\)、\(K_{2}K_{1}\) の \(K\) についての並び方が \(2\) 通り.

さらに、上で並べた玉の間 \(3\) カ所 ( \(K_{1}\)、\(K_{2}\) のとなり以外 ) から \(2\) カ所選んで、\(H\)、\(D\) を並べればよいので、\(H\)、\(D\) の並べ方は \(_{3}P_{2}\) 通り

したがって子音の \(K_{1}\)、\(K_{2}\) だけが隣り合う確率は、

\(\displaystyle\frac{4!\times2!\times_{3}P_{2}}{7!}=\displaystyle\frac{2}{35}\)

であるから、求める条件付き確率は、\(\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{35}}{\displaystyle\frac{34}{35}}=\displaystyle\frac{1}{17}\)

 

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