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2019東京大学・理系[整数](n^2+1)(5n^2+9)は整数の2乗にならない

数学(大学入試問題)

【2019東京大学・理】

\(n\) を \(1\) 以上の整数とする.

(1) \(n^2+1\) と \(5n^2+9\) の最大公約数 \(d_{n}\) を求めよ.

(2) \((n^2+1)(5n^2+9)\) は整数の \(2\) 乗にならないことを示せ.

整数問題のPoint

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

  1. 積の形に変形
  2. 条件から範囲を絞る
  3. 倍数や余りに注目

整数問題の多くが、上の1から3のいずれかで処理できます。

この3つのPointは絶対に頭の中に叩き込んでください!

 

☆平方数・指数はmod 3,4,5,8 が有効

難関大学ではよく出題されるPointの1つ!

まずは下の表を見てください。

  • mod 3 ➡ 「0、1」のみ
  • mod 4 ➡ 「0、1」のみ
  • mod 5 ➡ 「0、1、4」のみ
  • mod 8 ➡ 「0、1、4」のみ

この性質を使って解く演習問題

2021 兵庫県立大学【整数】平方数には合同式(mod)を使え!
平方数、指数はmod 3 や mod 4 が有効。教科書では学習できない内容を、基本的な入試問題を用いて考え方を解説。 経験の差が得点の差に直結する整数問題の解法まとめ。
2021 北海道大学(後期)|整数問題[平方・指数→合同式の利用]
整数問題において、平方数・指数はmod3,4が有効!また整数問題全般に使える積の形に変形、絞り込み作業と、この1問で多くのポイントが学習できる良問。

ユークリッド互除法

【ユークリッドの互除法】

\(2\) つの自然数 \(a\) 、\(b\) において、\(a\) を \(b\) で割ったときの商を \(q\)、余りを \(r\) とすると

\(a\) と \(b\) の最大公約数は、\(b\) と \(r\) の最大公約数に等しい

最大公約数の求め方については様々ありますが、ここではユークリッド互除法を利用した解法を紹介します。

整数問題|ユークリッドの互除法・最大公約数[入試問題演習]
合同式、ユークリッドの互除法を用いた入試問題演習。数学A・整数問題・良問
2000 大阪市立大学|整数問題(互いに素・ユークリッド互除法)
入試問題(整数)演習。互いに素であることの証明について、考え方、また複数の解法を紹介。

 

(1) 解答・解説

(1) \(n^2+1\) と \(5n^2+9\) の最大公約数 \(d_{n}\) を求めよ.

\(5n^2+9=5(n^2+1)+4\) より

ユークリッド互除法から、

\(5n^2+9\) と \(n^2+1\) の最大公約数は

\(n^2+1\) と \(4\) の最大公約数に等しい.

最大公約数の可能性は、\(4\) の約数の「1 or 2 or 4」

以下、\(mod 4\) で考えると

よって、上の表より

(ア) \(n\) が奇数のとき

\(n^2+1≡1\) であるから、\(n^2+1\) と \(4\) の最大公約数 \(d_{n}=1\)

(イ) \(n\) が偶数のとき

\(n^2+1≡2\) であるから、\(n^2+1\) と \(4\) の最大公約数 \(d_{n}=2\)

(2) 解答・解説

(2) \((n^2+1)(5n^2+9)\) は整数の \(2\) 乗にならないことを示せ.

\(2\) 乗にならないことを示せ

⇒ \(2\) 乗になると仮定して矛盾を導く(背理法)

\((n^2+1)(5n^2+9)\) が平方数になる・・・① と仮定する.

(ア) \(n\) が奇数のとき

(1)より、\(d_{n}=1\) であるから、

\(n^2+1\) と \(5n^2+9\) は互いに素・・・②

①かつ②より、

\(n^2+1\) と \(5n^2+9\) はともに平方数となる.(※)・・・③

(※)について補足

「\(A\) と \(B\) が互いに素」かつ「\(AB\) が平方数」のとき

\(AB=x^{偶数}\times y^{偶数}\times z^{偶数}\times w^{偶数}\cdots\) となる.

\(A\) と \(B\) が互いに素であるから、\(A\) と \(B\) に共通な因数がないため、

例えば、

\(A=x^{偶数}\times y^{偶数}\times \cdots\)

\(B=z^{偶数}\times w^{偶数}\cdots\) のようになる.

つまり、\(A\)、¥(B\) ともに平方数となる.

ここで、\(n^2<n^2+1<n^2+2n+1=(n+1)^2\) であるから、

\(n^2+1\) が平方数になることはない.

よって、矛盾する.

 

(イ) \(n\) が偶数のとき

(1)より、\(d_{n}=2\) であるから

\(n^2+1=2\times \displaystyle\frac{n^2+1}{2}\)

\(5n^2+9=2\times \displaystyle\frac{5n^2+9}{2}\) として、

\(\displaystyle\frac{n^2+1}{2}\)、\(\displaystyle\frac{5n^2+9}{2}\) は互いに素・・・④となる.

\((n^2+1)(5n^2+9)=2^2\times \displaystyle\frac{n^2+1}{2}\times \displaystyle\frac{5n^2+9}{2}\)・・・⑤

①、④、⑤より、(ア)と同様に考え

\(\displaystyle\frac{n^2+1}{2}\)、\(\displaystyle\frac{5n^2+9}{2}\) はともに平方数となる.

ここで、\(n\) は奇数であるから、\(n=2m-1\) ( \(m\) は自然数 )とおくと、

\(\displaystyle\frac{5n^2+9}{2}=10m^2-10m+7=10m(m-1)+7\)

よって、

\(\displaystyle\frac{5n^2+9}{2}=10m(m-1)+7≡2\) ( \(mod 5\) ) となるが、

であるから、\(mod 5\) において、\(\displaystyle\frac{5n^2+9}{2}\) は平方数となり得ない.したがってこれは矛盾する.

以上より、

\((n^2+1)(5n^2+9)\) は整数の \(2\) 乗にならない.

 

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