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2021 横浜市立大学・医[整数(最大公約数・最小公倍数)]L^2-G^2=72

数学(大学入試問題)

2021 横浜市立大学・医学部・第1問

\(2\) つの正の整数 \(a\)、\(b\) の最大公約数を \(G\) 、最小公倍数を \(L\) とするとき、

\(L^2-G^2=72\)

が成り立ちます.このような正の整数の組み \(( a , b )\) をすべて求めなさい.

整数問題のPoint

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

  1. 積の形に変形
  2. 条件から範囲を絞る
  3. 倍数や余りに注目

整数問題の多くが、上の1から3のいずれかで処理できます。

 

考え方

→Pointの1から

・\(L^2-G^2=(L+G)(L-G)\) と積の形に変形できる!

→Pointの2から

・\(L+G>L-G>0\) を利用して絞り込み

・和や差をとって偶奇を利用することで絞り込み

最大公約数・最小公倍数の性質

\(2\) つの自然数 \(a\)、\(b\) の最大公約数を \(G\) 、最小公倍数を \(L\) とする.

\(a=Ga’\)、\(b=Gb’\) であるとすると、次のことが成り立つ.

  1. \(a’\)、\(b’\) は互いに素である.
  2. \(L=Ga’b’\)
  3. \(ab=GL\)

解答

\(L^2-G^2=72\) より

\((L+G)(L-G)=2^3\times3^2\) であり、

\(L\)、\(G\) は自然数なので

\(L+G>L-G>0\) である.

よって、

\((L+G , L-G )=( 72 , 1 ) , ( 36 , 2 ) , ( 24 , 3 ) , ( 18 , 4 ) , ( 12 , 6 ) , ( 9 , 8 )\)

上の \(6\) 組をそれぞれ考えても良いが、

『和(または差)をとり、偶奇を考えることで絞り込み』

\((L+G)+(L-G)=2L\) つまり偶数であるから、

和が偶数になるためには、ともに偶数、ともに奇数のいずれか

つまり、\((L+G , L-G )=( 72 , 1 ) , ( 24 , 3 ) , ( 9 , 8 )\) は不適となる

よって、\((L+G , L-G )= ( 36 , 2 ) , ( 18 , 4 ) , ( 12 , 6 )\)

したがって、\(( L , G )=( 19 , 17 ) , ( 11 , 7 ) , ( 9 , 3 )\)

また、\(L\) は \(G\) の倍数であるから、

\(( L , G )=( 9 , 3 )\) ・・・①

 

ここで、互いに素な整数 \(a’\)、\(b’\) を用いて、

\(a=Ga’\)、\(b=Gb’\) とおく.

このとき、\(L=Ga’b’\) であるから、①の結果から

\(9=3a’b’\)

\(a’b’=3\)

よって、\(( a’ , b’ )=( 1 , 3 ) , ( 3 , 1 )\)

以上より、\(( a , b )=( 3 , 9 ) , ( 9 , 3 )\)

 

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