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【2023東北大学・第1問】確率(非復元抽出)

場合の数・確率

【2023東北大学・文理・第1問】

赤玉 \(4\) 個と白玉 \(5\) 個の入った,中の見えない袋がある.玉はすべて,色が区別できる他には違いはないものとする.\(A\),\(B\) の \(2\) 人が,\(A\) から交互に,袋から玉を \(1\) 個ずつ取り出すゲームを行う.ただし取り出した玉は袋の中に戻さない.\(A\) が赤玉を取り出したら \(A\) の勝ちとし,その時点でゲームを終了する.\(B\) が白玉を取り出したら \(B\) の勝ちとし,その時点でゲームを終了する.袋から玉がなくなったら引き分けとし,ゲームを終了する.

(1) このゲームが引き分けとなる確率を求めよ.

(2) このゲームに \(A\) が勝つ確率を求めよ.

解答・解説

(1) このゲームが引き分けとなる確率を求めよ.

赤玉 \(4\) 個と白玉 \(5\) 個を一列に並べる順列の総数は

\(_{9}C_{4}=\displaystyle\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=126\) 通り

この中でゲームが引き分けとなるのは

\(A\) \(B\) \(A\) \(B\) \(A\) \(B\) \(A\) \(B\) \(A\)

上のような \(1\) 通りのみ

したがって求める確率は \(\displaystyle\frac{1}{126}\)

(2) このゲームに \(A\) が勝つ確率を求めよ.

\(A\) が勝つのは以下のような場合

\(A\) \(B\) \(A\) \(B\) \(A\) \(B\) \(A\) \(B\) \(A\)
( ⅰ )
( ⅱ )
( ⅲ )
( ⅳ ) (白) (白)

( ⅰ ) のとき

\(_{8}C_{3}=56\) 通り

( ⅱ ) のとき

\(_{6}C_{2}=15\) 通り

( ⅲ ) のとき

\(_{4}C_{1}=4\) 通り

( ⅳ ) のとき

\(1\) 通り

( ⅰ )〜( ⅳ )より

\(56+15+4+1=76\) 通り

したがって求める確率は,\(\displaystyle\frac{76}{126}=\displaystyle\frac{38}{63}\)

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