【2022お茶の水女子大学・第３問】
(１) すべての実数 \(x\) について，次の不等式が成り立つことを示せ．また，等号が成立する \(x\) の値を答えよ．
\(1+x≦\left(1+\displaystyle\frac{1}{2}x\right)^2\)
(２) \(0<x<1\) を満たすすべての実数 \(x\) について，次の不等式が成り立つことを示せ．
\(\left(1+\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{1}{8}x^2\right)^2<1+x\)
(３) \(\sqrt{17}\) の値を小数第 \(3\) 位を四捨五入して小数第 \(2\) 位まで求めよ．
解答・解説
(１) \(1+x≦\left(1+\displaystyle\frac{1}{2}x\right)^2\)
\(\left(1+\displaystyle\frac{1}{2}x\right)^2-(1+x)=\displaystyle\frac{1}{4}x^2≧0\)
よって，\(1+x≦\left(1+\displaystyle\frac{1}{2}x\right)^2\) が成り立つ．
等号成立は，\(\displaystyle\frac{1}{4}x^2=0\) \(\iff\) \(x=0\) のとき
(２) \(0<x<1\) のとき，\(\left(1+\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{1}{8}x^2\right)^2<1+x\)
\(1+x-\left(1+\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{1}{8}x^2\right)^2\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{64}x^4+\displaystyle\frac{1}{8}x^3\)
\(=-\displaystyle\frac{1}{64}x^3(x-8)\)
\(0<x<1\) のとき，\(x^3>0\)，\(x-8<0\) より \(-\displaystyle\frac{1}{64}x^3(x-8)>0\)
よって，\(\left(1+\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{1}{8}x^2\right)^2<1+x\)
(３) \(\sqrt{17}\) の値
(１)，(２)の結果から \(0<x<1\) のとき
\(\left(1+\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{1}{8}x^2\right)^2<1+x<\left(1+\displaystyle\frac{1}{2}x\right)^2\)
が成り立つ．この式に \(x=\displaystyle\frac{1}{16}\) を代入すると
\(\left\{1+\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{16}-\displaystyle\frac{1}{8}\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{16}\right)^2\right\}^2<1+\displaystyle\frac{1}{16}<\left(1+\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{16}\right)^2\)
\(\left(\displaystyle\frac{2111}{512}\right)^2<17<\left(\displaystyle\frac{33}{8}\right)^2\)
ここで，
\(\displaystyle\frac{2111}{512}=4.123\cdots>4.12\) ，\(\displaystyle\frac{33}{8}=4.125\) より
\((4.12)^2<17<(4.125)^2\)
よって，\(4.12<\sqrt{17}<4.125\)
したがって求める値は，\(4.12\)
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