【2023神戸大学・理系・第１問】数学的帰納法(全段仮定)、漸化式(数列)

解答・解説

(１)　すべての実数 \(x\) について \(f(x)≧x\) が成り立つことを示せ．

\(x≦1\) のとき

\(f(x)-x=\left(\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{1}{2}\right)-x=\displaystyle\frac{1}{2}(1-x)≧0\)

よって \(f(x)≧x\)

\(x>1\) のとき

\(f(x)-x=(2x-1)-x=x-1>0\)

よって \(f(x)>x\)

以上より，\(f(x)≧x\) が成り立つ．

(２)　\(a≦1\) のとき，すべての正の整数 \(n\) について \(a_{n}≦1\) が成り立つことを示せ．

数学的帰納法(全段仮定)

数学的帰納法を利用して証明する．

( ⅰ )　\(n=1\) のとき

\(a_{1}=a≦1\) より成立．

( ⅱ )　\(n≦k\) のとき \(a_{k}≦1\) が成り立つと仮定すると

\(a_{k+1}=f(a_{k})=\displaystyle\frac{1}{2}a_{k}+\displaystyle\frac{1}{2}≦\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 1+\displaystyle\frac{1}{2}=1\)

となり \(n=k+1\) のときも成立．

( ⅰ )( ⅱ )より，すべての正の整数 \(n\) について \(a_{n}≦1\) が成立．

(３)　数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) の一般項を \(n\) と \(a\) を用いて表せ．

(１)の結果から，\(f(a_{n})≧a_{n}\)

つまり \(a_{n+1}≧a_{n}\) が成立するので，数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) は単調増加な数列となる．

\(a_{1}=a>1\) のとき，すべての正の整数 \(n\) について \(a_{n}>1\) となるので

\(a>1\) のとき \(a_{n+1}=2a_{n}-1\) ・・・①

また(２)の結果から，\(a≦1\) のとき \(a_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}a_{n}-\displaystyle\frac{1}{2}\) ・・・②

①より \(a_{n+1}-1=2(a_{n}-1)\)

よって \(a_{n}-1=(a-1)\cdot 2^{n-1}\)

\(\iff\) \(a_{n}=1+(a-1)\cdot 2^{n-1}\)

②より \(a_{n+1}-1=\displaystyle\frac{1}{2}(a_{n}-1)\)

よって \(a_{n}-1=(a-1)\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)

\(\iff\) \(a_{n}=1+(a-1)\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)

したがって，

\(a≦1\) のとき，\(a_{n}=1+(a-1)\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)

\(a>1\) のとき，\(a_{n}=1+(a-1)\cdot 2^{n-1}\)