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【数列まとめ】おさえておきた差がつく入試頻出・重要問題

分野まとめ

数列の有名・頻出問題を集めました。

数列に特化した入試問題まとめページになりますので,偏りはありますが,知っておきたい・差がつく問題の演習としてご利用ください!

等比数列・等比中項(外接する3つの円と直線【2021千葉大学】)

【2021千葉大学】

平面上に半径がそれぞれ \(a^2\) , \(b^2\) , \(c^2\) ( \(0<a<b<c\) ) の \(3\) つの円 \(A\) , \(B\) , \(C\) および直線 \(l\) がある.\(3\) つの円はどれも直線 \(l\) に接していて,どの \(2\) つの円も外接しているとする.

(1) \(c\) を \(a\) と \(b\) を用いて表せ.

(2) 数列 \(a\) , \(b\) , \(c\) が等比数列となるとき,その公比を求めよ.

【2021千葉大学】外接する3つの円と直線、等比数列・等比中項(a,b,cがこの順で等比数列)
2円の位置関係(外接する)と等比数列・等比中項の融合問題。2円が外接し、直線に接することから関係式を作り、a,b,cがこの順で等比数列になることを利用して公比rを求める。2021千葉大学過去問演習。数学A:図形と計量、数学B:数列

2乗の和の公式の証明|Σk^2=1/6n(n+1)(2n+1)

自然数 \(n\) に対して

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k^2}=\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\) ・・・①

が成り立つことを示せ.

2乗の和の公式の証明|Σk^2=1/6n(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+・・・+n^2(2乗の和:6分の1の公式)について、(k+1)^3-k^3の形を利用した部分分数分解のように考える解法と、数学的帰納法を用いた2通り証明。Σ(シグマ)公式について。数学B:数列の和

和と一般項(Snとan),部分分数分解【2021北海道大学】

【2021北海道大学】

初項から第 \(n\) 項までの和 \(S_{n}\) が

\(S_{n}=\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+7)\)   ( \(n = 1 , 2, 3 , \cdots\) )

で表される数列 \(\left\{ a_{n}\right\}\) がある.

(1) \(\left\{ a_{n}\right\}\) の一般項を求めよ.

(2) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{1}{a_{k}}}\) を求めよ.

【2021北海道大学】和と一般項(Snとan),部分分数分解|数学B:数列
n≧2とn=1と場合分けして、和から一般項を求める。分母の積の形から差分数分解し、シグマ(和)をとる部分分数分解の典型問題。分母が2つ残るタイプ。2021北大過去問演習。数学B数列

分母が3つの積の部分分数分解【2021金沢工業大学】

【2021金沢工業大学(一部問題文改)】

分子が等差数列,分母が連続する \(3\) つの整数の積である有理数からなる数列

\(\displaystyle\frac{9}{1\cdot 2\cdot 3}\) , \(\displaystyle\frac{14}{2\cdot 3\cdot 4}\) , \(\displaystyle\frac{19}{3\cdot 4\cdot 5}\) , \(\displaystyle\frac{24}{4\cdot 5\cdot 6}\) , \(\cdots\) を \(\left\{a_{n}\right\}\) とする.

(1) 数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) の一般項は \(a_{n}\) を求めよ.

(2) \(a_{n}=\displaystyle\frac{a}{n(n+1)}+\displaystyle\frac{b}{(n+1)(n+2)}\) (  \(n = 1 , 2 , 3 , \cdots\) ) を満たす \(a\) , \(b\) を求めよ.

(3) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}\) を求めよ.

【2021金沢工業大学】分母が3つの積の部分分数分解
分子が等差数列,分母が連続する3つの整数の積である有理数からなる数列の和。恒等式を用いて2つの分数分解を行う。重要・頻出入試問題。数学B数列

23/111の小数第k位の数を\(a_{k}\). \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{a_{k}}{3^k}}\)【2003京都大学】

【2003京都大学】

\(\displaystyle\frac{23}{111}\) を \(0.a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}\cdots\) のように小数で表す.すなわち小数第 \(k\) 位の数を \(a_{k}\) とする.

このとき \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{a_{k}}{3^k}}\) を求めよ.

【2003京都大学】23/111の小数第k位の数をak .Σak/3^kを求めよ.
循環小数から数列の規則性に注目し、nが3で割った余りで場合分け。式をまとめ、等比数列の和(シグマ)として考える。2003京大過去問演習。数学B:数列

【格子点】

x+y≦n(x,yは0以上の整数)を満たす格子点の個数

【2014中央大学(一部)】

座標平面上で,点 \((x,y)\) を考える.ここで,\(x\) , \(y\) を \(0\) 以上の整数,\(n\) を自然数とする.

このとき,以下の個数を \(n\) で表せ.

(1) \(x+y≦n\) を満たす点 \((x,y)\) の個数

(2) \(\displaystyle\frac{x}{2}+y≦n\) を満たす点 \((x,y)\) の個数

【格子点】x+y≦n(x,yは0以上の整数)を満たす格子点の個数|2014中央大学
x,y座標がともに整数となる格子点の個数の数え方・考え方を解説。x=kやy=k上の格子点を数え、総和(シグマ)を考える。難関大学頻出・有名問題。差がつく入試問題。数学A:整数問題、数学B:数列。2014中央大学過去問演習。GMARCH、関関同立、早慶、東大、京大、一橋、旧帝大、難関大学対策。

【お茶の水女子大学】放物線と直線で囲まれた領域の格子点

【お茶の水女子大学】

\(n\) を自然数とする.不等式

\(y≦2n^2\) , \(y≧\displaystyle\frac{1}{2}x^2\) , \(x≧0\)

を同時に満たす整数の組 \((x,y)\) の個数を求めよ.

【格子点】放物線と直線で囲まれた領域の格子点の個数|お茶の水女子大学
x,y座標がともに整数となる格子点の個数の数え方・考え方を解説。x=kやy=k上の格子点を数え、総和(シグマ)を考える。難関大学頻出・有名問題。差がつく入試問題。数学A:整数問題、数学B:数列。お茶の水女子大学過去問演習。GMARCH、関関同立、早慶、東大、京大、一橋、旧帝大、難関大学対策。

【大阪大学】対数関数で囲まれた領域内の格子点

【大阪大学】

条件 \(1<x<2^{n+1}\) および \(0<y≦\log_{2}{x}\) を満たす整数 \(x\) , \(y\) を座標とする点 \((x,y)\) の個数を求めよ.

【大阪大学】対数関数で囲まれた領域内の格子点|1
x,y座標がともに整数となる格子点の個数の数え方・考え方を解説。x=kやy=k上の格子点を数え、総和(シグマ)を考える。難関大学頻出・有名問題。差がつく入試問題。数学A:整数問題、数学B:数列。阪大過去問演習。GMARCH、関関同立、早慶、東大、京大、一橋、旧帝大、難関大学対策。

 

数学的帰納法

【2021 神戸大学】

【2021神戸大学・文系・第1問】

\(i\) を虚数単位とする.以下の問に答えよ.

(1) \(n = 2 , 3 , 4 , 5 \) のとき \((3+i)^n\) を求めよ.

またそれらの虚部の整数を 10 で割った余りを求めよ.

(2) \(n\) を正の整数とするとき \((3+i)^n\) は虚数であることを示せ.

2021 神戸大学・文系・第1問【数学的帰納法】
実験から規則を予想し、一般化。それを数学的帰納法を用いて証明する、入試数学における典型問題。 複素数の計算(数学Ⅱ)と、数学的帰納法(数学B)の融合問題。過去問演習。

【2019久留米大・医】倍数証明|帰納法,合同式を利用した解法2パターン

【2019久留米大学・医】

一般項が \(a_{n}=6^{n+2}+7^{2n+1}\) ( \(n = 1 , 2 , 3 , \cdots\) ) で表される数列 \(\left\{ a_{n} \right\}\) を考える.すべての自然数 \(n\) に対して,\({ a_{n} }\) が \(43\) で割り切れることを証明せよ.

6^(n+2)+7^(2n+1)は43で割り切れる|帰納法,合同式を利用した解法2パターン
①数学的帰納法を用いた倍数証明②合同式(mod)を利用した証明の2通りの解法。頻出有名・基本問題。数学A整数,数学B数列。2次試験対策、過去問題演習。久留米大学・医学部。

数学的帰納法(2段仮定)

対称式【差がつく・頻出入試問題】

【2020 広島市立大学 第2問】

\(2\) 次方程式 \(x^2-3x+4=0\) の解を \(\alpha\)、\(\beta\) とし、数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) を

\(a_{n}={\alpha}^n+{\beta}^n\) \(( n = 1 , 2 , 3 , \cdots)\)

によって定める.

(1) \(a_{1}\)、\(a_{2}\) の値を求めよ.

(2) \(n\) を \(2\) 以上の自然数とするとき、

\(a_{n+1}-3a_{n}+4a_{n-1}=0\)

が成り立つことを示せ.

(3) すべての自然数 \(n\) について、\(a_{n}\) は奇数であることを示せ.

【差がつく・頻出】数学的帰納法(2段仮定)・対称式
数学的帰納法(2段仮定)は、一度経験しているかどうかの差がはっきりとつきます。 2020年の広島市立大学・第2問の誘導が丁寧な問題を用いて演習。頻出・重要入試問題

【1994東京大学】π/5(36°)の三角比の値、2段仮定の数学的帰納法

【1994東京大学】

\(a=\sin^2 \displaystyle\frac{\pi}{5}\) , \(b=\sin^2 \displaystyle\frac{2\pi}{5}\) とおく.このとき,以下のことが成り立つことを示せ.

(1) \(a+b\) および \(ab\) は有理数である.

(2) 任意の自然数 \(n\) に対し \((a^{-n}+b^{-n})(a+b)^n\) は整数である.

【1994東京大学】π/5(36°)の三角比の値、2段仮定の数学的帰納法|三角関数と数列
頻出π/5(36°)の三角比の値を加法定理、2倍角、3倍角を利用して求める。また差がつく入試問題の対称式と2段仮定の数学的帰納法について。1994東京大学過去問演習(類題:2017東大)。数学Ⅱ三角関数、数学B数列

数学的帰納法(全段仮定)

【2010京都大学】

【2010京都大学】

数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) は,すべての正の整数 \(n\) に対して \(0≦3a_{n}≦\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}\) を満たしているとする.このとき,すべての \(n\) に対して \(a_{n}=0\) であることを示せ.

【2010京都大学】数学的帰納法(全段仮定)|差がつく良問(数学B数列)
n≦kを満たすすべてのnで成り立つと仮定し,n=k+1のときに示す.数学的帰納法の有名3タイプのうちの「全段仮定法」.経験で差がつく入試問題.2010京大過去問演習・対策。数学B。また別解として背理法の紹介。

等差×等比数列の総和、実験・推測・数学的帰納法(全段仮定)【2021九州大学】

【2021九州大学】

以下の問いに答えよ.

(1) \(n\) を自然数とするとき,\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k2^{k-1}}\) を求めよ.

(2) 次のように定義される数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) の一般項を求めよ.

\(a_{1}=2\) , \(a_{n+1}=1+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{(n+1-k)}a_{k}\)

【2021九州大学】等差×等比数列の総和、実験→予想・推測→数学的帰納法(全段仮定)
等差数列と等比数列の積の和。与えられた漸化式から具体的に値を代入し一般項を予想。数学的帰納法を用いて証明。2021九大過去問対策・演習。数学B:数列の和と漸化式。全段仮定の差がつく入試問題。類題演習

【漸化式】

有名・頻出13パターン解法まとめ

【例題】次の条件によって定められる数列の一般項を求めよ.

1.\(a_{1}=2\),\(a_{n+1}=a_{n}+3\)

2.\(a_{1}=3\),\(a_{n+1}=2a_{n}\)

3.\(a_{1}=1\),\(a_{n+1}=a_{n}+2n\)

4.\(a_{1}=2\),\(a_{n+1}=3a_{n}-2\)

5.\(a_{1}=2\),\(a_{n+1}=4a_{n}+6\cdot 2^n\)

6.\(a_{1}=1\),\(a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_{n}}{2a_{n}+3}\)

7.\(a_{1}=0\),\(a_{n+1}=2a_{n}+2n-2\)

8.\(a_{1}=1\),\(a_{2}=4\),\(a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_{n}=0\)

9.\(a_{1}=1\),\(a_{2}=5\),\(a_{n+2}-6a_{n+1}+9a_{n}=0\)

10.\(S_{n}=-7+2n-a_{n}\)

11.\(a_{1}=1\),\(na_{n+1}=(n+1)a_{n}\)

12.\(\begin{cases}a_{1}=0 , b_{1}=1\\a_{n+1}=4a_{n}+8b_{n}\\b_{n+1}=a_{n}+6b_{n}\end{cases}\)

13.\(a_{1}=3\) , \(a^2_{n}=(n+1)a_{n+1}+1\)

【漸化式】有名・頻出13パターン解法まとめ|数学B数列
等差・等比・階差・隣接二項間特性方程式の基礎基本から、分数・三項間・和と一般項・数学的帰納法型など,有名頻出重要パターンの解法のまとめ。漸化式は完全暗記であるため、しっかりと解法をマスターしよう!数学B:数列(漸化式)。2次試験・共通テスト(センター試験)・定期考査対策。

【漸化式14】分数型(発展)2実数解タイプ|解法パターン

【例題】次の条件によって定められる数列の一般項を求めよ.

14.\(a_{1}=0\) , \(a_{n+1}=\displaystyle\frac{3a_{n}+2}{a_{n}+2}\)

【漸化式14】分数型(発展)2実数解タイプ|解法パターン|数学B数列
漸化式の解き方・解法まとめ。分数型の発展的な型(2実数解タイプ)の一般項の求め方。基本形へ帰着させるための手順。有名頻出・重要問題。定期考査、大学入試共通テスト、2次試験対策。

【漸化式15】分数型(発展)重解タイプ|解法パターン

【例題】次の条件によって定められる数列の一般項を求めよ.

15.\(a_{1}=8\) , \(a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_{n}-9}{a_{n}-5}\)

【漸化式15】分数型(発展)重解タイプ|解法パターン|数学B数列
漸化式の解き方・解法まとめ。分数型の発展的な型(重解タイプ)の一般項の求め方。基本形へ帰着させるための手順。有名頻出・重要問題。定期考査、大学入試共通テスト、2次試験対策。

【漸化式16】対数型(2017大阪大学)

【2017大阪大学】

次の条件によって定められる数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) がある.

\(a_{1}=2\) , \(a_{n+1}=8a_{n}^2\) ( \(n=1,,2,3,\cdots\) )

(1) \(b_{n}=\log_{2}{a_{n}}\) とおく.\(b_{n+1}\) を \(b_{n}\) を用いてあらわせ.

(2) 数列 \(\left\{b_{n}\right\}\) の一般項を求めよ.

(3) \(P_{n}=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}\) とおく.数列 \(\left\{P_{n}\right\}\) の一般項を求めよ.

(4) \(P_{n}>10^{100}\) となる最小の自然数 \(n\) を求めよ.

【2017大阪大学】対数型の漸化式(パターン16)|数学B:数列
漸化式の解き方・解法まとめ。対数をとることで隣接二項間特性方程式型に帰着させる一般項の求め方。また数列の増減(増加数列)を調べることで考える問題。有名頻出・重要問題。定期考査、大学入試共通テスト、2次試験対策。2017阪大対策・過去問演習。

【確率漸化式】の考え方、立式の仕方!☆頻出☆

☆頻出【2次試験で差がつく】確率漸化式の考え方、立式の仕方!
確率漸化式の問題が解けるようになるためには、①確率漸化式の問題と気がつくこと、②立式、③漸化式を解く の3つの力が必要。①、②に特化して説明。考え方、思考の仕方について推移図を用いて説明。

【確率漸化式】2020大阪大学・文系[第2問]

【2020 大阪大学・文系[第2問]】

円周を \(3\) 等分する点を時計回りに \(A\)、\(B\)、\(C\) とおく.点 \(Q\) は、\(A\) から出発し、\(A\)、\(B\)、\(C\) を以下のように移動する.

\(1\) 個のさいころを投げて、\(1\) の目が出た場合は時計回りに隣の点に移動し、\(2\) の目が出た場合は反時計回りに隣の点に移動し、その他の目が出た場合は移動しない.

さいころを \(n\) 回投げたあとに \(Q\) が \(A\) に位置する確率 \(p_{n}\) とする.以下の問いに答えよ.

(1) \(p_{2}\) を求めよ.

(2) \(p_{n+1}\) を \(p_{n}\) を用いて表せ.

(3) \(p_{n}\) を求めよ.

【確率漸化式】2020大阪大学・文系[第2問] 解き方・考え方|入試問題演習
学校の授業ではあまり扱われないが、数学の2次試験では頻出重要テーマの確率漸化式について、考え方、立式の仕方について解説。 数学Aの確率、数学Bの数列(漸化式)の融合総合問題。2次試験対策に!

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