数列の有名・頻出問題を集めました。
数列に特化した入試問題まとめページになりますので，偏りはありますが，知っておきたい・差がつく問題の演習としてご利用ください！
等比数列・等比中項(外接する３つの円と直線【2021千葉大学】)
【2021千葉大学】
平面上に半径がそれぞれ \(a^2\) , \(b^2\) , \(c^2\) ( \(0<a<b<c\) ) の \(3\) つの円 \(A\) , \(B\) , \(C\) および直線 \(l\) がある．\(3\) つの円はどれも直線 \(l\) に接していて，どの \(2\) つの円も外接しているとする．
(１) \(c\) を \(a\) と \(b\) を用いて表せ．
(２) 数列 \(a\) , \(b\) , \(c\) が等比数列となるとき，その公比を求めよ．
2乗の和の公式の証明｜Σk^2=1/6n(n+1)(2n+1)
自然数 \(n\) に対して
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k^2}=\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\) ・・・①
が成り立つことを示せ．
和と一般項(Snとan)，部分分数分解【2021北海道大学】
【2021北海道大学】
初項から第 \(n\) 項までの和 \(S_{n}\) が
\(S_{n}=\displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+7)\) ( \(n = 1 , 2, 3 , \cdots\) )
で表される数列 \(\left\{ a_{n}\right\}\) がある．
(１) \(\left\{ a_{n}\right\}\) の一般項を求めよ．
(２) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{1}{a_{k}}}\) を求めよ．
分母が３つの積の部分分数分解【2021金沢工業大学】
【2021金沢工業大学(一部問題文改)】
分子が等差数列，分母が連続する \(3\) つの整数の積である有理数からなる数列
\(\displaystyle\frac{9}{1\cdot 2\cdot 3}\) , \(\displaystyle\frac{14}{2\cdot 3\cdot 4}\) , \(\displaystyle\frac{19}{3\cdot 4\cdot 5}\) , \(\displaystyle\frac{24}{4\cdot 5\cdot 6}\) , \(\cdots\) を \(\left\{a_{n}\right\}\) とする．
(１) 数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) の一般項は \(a_{n}\) を求めよ．
(２) \(a_{n}=\displaystyle\frac{a}{n(n+1)}+\displaystyle\frac{b}{(n+1)(n+2)}\) ( \(n = 1 , 2 , 3 , \cdots\) ) を満たす \(a\) , \(b\) を求めよ．
(３) \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}\) を求めよ．
23/111の小数第k位の数を\(a_{k}\). \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{a_{k}}{3^k}}\)【2003京都大学】
【2003京都大学】
\(\displaystyle\frac{23}{111}\) を \(0.a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}\cdots\) のように小数で表す．すなわち小数第 \(k\) 位の数を \(a_{k}\) とする．
このとき \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\displaystyle\frac{a_{k}}{3^k}}\) を求めよ．
【格子点】
x+y≦n(x,yは0以上の整数)を満たす格子点の個数
【2014中央大学(一部)】
座標平面上で，点 \((x,y)\) を考える．ここで，\(x\) , \(y\) を \(0\) 以上の整数，\(n\) を自然数とする．
このとき，以下の個数を \(n\) で表せ．
(１) \(x+y≦n\) を満たす点 \((x,y)\) の個数
(２) \(\displaystyle\frac{x}{2}+y≦n\) を満たす点 \((x,y)\) の個数
【お茶の水女子大学】放物線と直線で囲まれた領域の格子点
【お茶の水女子大学】
\(n\) を自然数とする．不等式
\(y≦2n^2\) , \(y≧\displaystyle\frac{1}{2}x^2\) , \(x≧0\)
を同時に満たす整数の組 \((x,y)\) の個数を求めよ．
【大阪大学】対数関数で囲まれた領域内の格子点
【大阪大学】
条件 \(1<x<2^{n+1}\) および \(0<y≦\log_{2}{x}\) を満たす整数 \(x\) , \(y\) を座標とする点 \((x,y)\) の個数を求めよ．
数学的帰納法
【2021 神戸大学】
【2021神戸大学・文系・第1問】
\(i\) を虚数単位とする．以下の問に答えよ．
(1) \(n = 2 , 3 , 4 , 5 \) のとき \((3+i)^n\) を求めよ．
またそれらの虚部の整数を 10 で割った余りを求めよ．
(2) \(n\) を正の整数とするとき \((3+i)^n\) は虚数であることを示せ．
【2019久留米大・医】倍数証明｜帰納法，合同式を利用した解法２パターン
【2019久留米大学・医】
一般項が \(a_{n}=6^{n+2}+7^{2n+1}\) ( \(n = 1 , 2 , 3 , \cdots\) ) で表される数列 \(\left\{ a_{n} \right\}\) を考える．すべての自然数 \(n\) に対して，\({ a_{n} }\) が \(43\) で割り切れることを証明せよ．
数学的帰納法(2段仮定)
対称式【差がつく・頻出入試問題】
【2020 広島市立大学 第2問】
\(2\) 次方程式 \(x^2-3x+4=0\) の解を \(\alpha\)、\(\beta\) とし、数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) を
\(a_{n}={\alpha}^n+{\beta}^n\) \(( n = 1 , 2 , 3 , \cdots)\)
によって定める．
(1) \(a_{1}\)、\(a_{2}\) の値を求めよ．
(2) \(n\) を \(2\) 以上の自然数とするとき、
\(a_{n+1}-3a_{n}+4a_{n-1}=0\)
が成り立つことを示せ．
(3) すべての自然数 \(n\) について、\(a_{n}\) は奇数であることを示せ．
【1994東京大学】π/5(36°)の三角比の値、2段仮定の数学的帰納法
【1994東京大学】
\(a=\sin^2 \displaystyle\frac{\pi}{5}\) , \(b=\sin^2 \displaystyle\frac{2\pi}{5}\) とおく．このとき，以下のことが成り立つことを示せ．
(１) \(a+b\) および \(ab\) は有理数である．
(２) 任意の自然数 \(n\) に対し \((a^{-n}+b^{-n})(a+b)^n\) は整数である．
数学的帰納法(全段仮定)
【2010京都大学】
【2010京都大学】
数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) は，すべての正の整数 \(n\) に対して \(0≦3a_{n}≦\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}\) を満たしているとする．このとき，すべての \(n\) に対して \(a_{n}=0\) であることを示せ．
等差×等比数列の総和、実験・推測・数学的帰納法(全段仮定)【2021九州大学】
【2021九州大学】
以下の問いに答えよ．
(１) \(n\) を自然数とするとき，\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k2^{k-1}}\) を求めよ．
(２) 次のように定義される数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) の一般項を求めよ．
\(a_{1}=2\) , \(a_{n+1}=1+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{(n+1-k)}a_{k}\)
【漸化式】
有名・頻出13パターン解法まとめ
【例題】次の条件によって定められる数列の一般項を求めよ．
１．\(a_{1}=2\)，\(a_{n+1}=a_{n}+3\)
２．\(a_{1}=3\)，\(a_{n+1}=2a_{n}\)
３．\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=a_{n}+2n\)
４．\(a_{1}=2\)，\(a_{n+1}=3a_{n}-2\)
５．\(a_{1}=2\)，\(a_{n+1}=4a_{n}+6\cdot 2^n\)
６．\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_{n}}{2a_{n}+3}\)
７．\(a_{1}=0\)，\(a_{n+1}=2a_{n}+2n-2\)
８．\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=4\)，\(a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_{n}=0\)
９．\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=5\)，\(a_{n+2}-6a_{n+1}+9a_{n}=0\)
10．\(S_{n}=-7+2n-a_{n}\)
11．\(a_{1}=1\)，\(na_{n+1}=(n+1)a_{n}\)
12．\(\begin{cases}a_{1}=0 , b_{1}=1\\a_{n+1}=4a_{n}+8b_{n}\\b_{n+1}=a_{n}+6b_{n}\end{cases}\)
13．\(a_{1}=3\) , \(a^2_{n}=(n+1)a_{n+1}+1\)
【漸化式14】分数型(発展)２実数解タイプ｜解法パターン
【例題】次の条件によって定められる数列の一般項を求めよ．
14．\(a_{1}=0\) , \(a_{n+1}=\displaystyle\frac{3a_{n}+2}{a_{n}+2}\)
【漸化式15】分数型(発展)重解タイプ｜解法パターン
【例題】次の条件によって定められる数列の一般項を求めよ．
15．\(a_{1}=8\) , \(a_{n+1}=\displaystyle\frac{a_{n}-9}{a_{n}-5}\)
【漸化式16】対数型(2017大阪大学)
【2017大阪大学】
次の条件によって定められる数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) がある．
\(a_{1}=2\) , \(a_{n+1}=8a_{n}^2\) ( \(n=1,,2,3,\cdots\) )
(１) \(b_{n}=\log_{2}{a_{n}}\) とおく．\(b_{n+1}\) を \(b_{n}\) を用いてあらわせ．
(２) 数列 \(\left\{b_{n}\right\}\) の一般項を求めよ．
(３) \(P_{n}=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}\) とおく．数列 \(\left\{P_{n}\right\}\) の一般項を求めよ．
(４) \(P_{n}>10^{100}\) となる最小の自然数 \(n\) を求めよ．
【確率漸化式】の考え方、立式の仕方！☆頻出☆
【確率漸化式】2020大阪大学・文系[第２問]
【2020 大阪大学・文系[第２問]】
円周を \(3\) 等分する点を時計回りに \(A\)、\(B\)、\(C\) とおく．点 \(Q\) は、\(A\) から出発し、\(A\)、\(B\)、\(C\) を以下のように移動する．
\(1\) 個のさいころを投げて、\(1\) の目が出た場合は時計回りに隣の点に移動し、\(2\) の目が出た場合は反時計回りに隣の点に移動し、その他の目が出た場合は移動しない．
さいころを \(n\) 回投げたあとに \(Q\) が \(A\) に位置する確率 \(p_{n}\) とする．以下の問いに答えよ．
(１) \(p_{2}\) を求めよ．
(２) \(p_{n+1}\) を \(p_{n}\) を用いて表せ．
(３) \(p_{n}\) を求めよ．
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