【2023久留米大学・医学部】ランダムウォーク・推移グラフを利用した確率

考え方(ランダムウォーク・推移図の利用)

ゲームの回数と持ち点の変化は，下図のように表すことができます。

視覚的に捉えることで，数え間違い，漏れがなくなります！

※$3$ の倍数の目が出た時は右上(赤矢印)，

$3$ の倍数でなければ右下(青矢印) に動きます。

解答・解説

(１)　$3$ 回目のゲーム終了時に $0$ 点となる確率

$1$ 個のサイコロを $1$ 回投げ，出た目が $3$ の倍数となる事象を $A$，$3$ の倍数でない事象を $B$ とする．

このとき，それぞれの確率 $P(A)=\displaystyle\frac{1}{3}$ ，$P(B)=\displaystyle\frac{2}{3}$ となる．

右図のようにゲーム回数と持ち点を右図のように表すとき，

$(3,0)$ に到達するのは，$3$ 回のうち事象 $A$ が $1$ 回，$B$ が $2$ 回起こればよいので，

$_{3}C_{1}\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^2=\displaystyle\frac{4}{9}$

(２)　$6$ 回目のゲーム終了時にはじめて $0$ 点となる確率

$6$ 回目のゲーム終了時にはじめて $0$ 点となるのは，

$(6,0)$ に到達する全事象から，$(3,0)$ に到達したのちに $(6,0)$ に到達する場合を除けばよいので

$_{6}C_{2}\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^4-\left(\displaystyle\frac{4}{9}\right)^2=\displaystyle\frac{80}{243}-\displaystyle\frac{16}{81}=\displaystyle\frac{32}{243}$

(３)　$3$ 回目のゲーム終了時に $0$ 点になり，$9$ 回目のゲーム終了時に $2$ 回目の $0$ 点となる確率

(１)，(２)の結果から

$\displaystyle\frac{4}{9}\times \displaystyle\frac{32}{243}=\displaystyle\frac{128}{2187}$

(４)　$9$ 回目のゲーム終了時にはじめて $0$ 点となる確率

まず $(9,0)$ に到達する確率は

$_{9}C_{3}\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^3\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^6=\displaystyle\frac{1792}{6561}$

この確率から，次の( ⅰ )( ⅱ )( ⅲ )を除けばよい．

( ⅰ ) $(3,0)$ と $(6,0)$ の両方を通る場合

( ⅱ ) $(3,0)$ のみを通る場合

( ⅲ ) $(6,0)$ のみを通る場合

( ⅰ )のとき

(１)の結果を利用すると

$\left(\displaystyle\frac{4}{9}\right)^3=\displaystyle\frac{64}{729}$

( ⅱ )，( ⅲ )のとき

いずれも(３)の結果に等しいので，$\displaystyle\frac{128}{2187}\times 2$

よって求める確率は，

$\displaystyle\frac{1792}{6561}-\displaystyle\frac{64}{729}-\displaystyle\frac{128}{2187}\times 2=\displaystyle\frac{448}{6561}$