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2変数関数の最大値・最小値【1文字固定法(予選決勝法)】

数学(大学入試問題)

考え方

2変数関数は、やや発展的な内容ではありますが、超有名な頻出テーマになりますので、考え方をしっかり理解しておきましょう!

2変数関数のMax・min

👉1文字固定(予選決勝法)

そもそも2変数関数は、2文字あるから大変!
だから1文字ずつ考えようっていうやり方です。
甲子園をイメージしてください。
全国の高校が甲子園で試合をし、日本一を決めようとしたらすごく大変ですよね?
だからまず最初にそれぞれの都道府県ごとに予選を行い、そこで1位になったチームが次に甲子園で決勝大会を行うわけです。
2変数関数も基本的には同じことをします。
 
ちなみに甲子園の例では、「最大値の中の最大値」を求める作業です。
本問では、「最小値の中の最小値」を求める作業を行っていきます。

解法手順

  1. 1文字固定
  2. 降べきの順に並べる
  3. 平方完成
  4. 最小値の式をもう一度、平方完成

解答

まず最初に、 \(x\) だけに注目しましょう!(  \(y\) を固定・・・\(y\) は数字の2や3だと思ってください)
 
そうすると今回の問題は、\(x\) の2次関数になります。
そこで、\(x\) について降べきの順に並べる
$$x^2-2(y+2)x+2y^2+2y+8$$
 
あとは \(x\) の2次関数と考えて最小値を求めます。(平方完成します)
 
\(x^2-2(y+2)x+2y^2+2y+8\\=\left\{x^2-\left(y+2\right)\right\}^2-(y+2)^2+2y^2+2y+8\\=\left\{x^2-\left(y+2\right)\right\}^2+y^2-2y+4\)
\(x=y+2\) のとき 最小値は \(y^2-2y+4\)
これで予選終了!
最後に、最小値の中の最小値を調べる(決勝をする)
\(y^2-2y+4=(y-1)^2+3\)
となり、最小値の中の最小値は 3 (\(x=3、y=1\)のとき)と求まります。

まとめ

・2変数関数の最大・最小問題に出会ったら、予選(1文字固定)をしてから決勝大会を行う!

※高校数学で最も大切な分野は、数学Ⅰで学習する「2次関数」です。2次関数の問題の中ではやや発展的な内容にはなりますが、超有名な頻出テーマですので、解法の流れをしっかりと理解して身につけましょう!

演習問題

2変数関数についての類題です。演習にどうぞ!

【2000東京大学】2変数関数(予選決勝法・1文字固定法)
2次関数で入試頻出の2変数関数問題の考え方。1文字を固定して考える予選決勝法を身につけるための考え方を解説。
【予選決勝(1文字固定)法】2変数関数の最大・最小|平方の和(ベクトル利用)の別解
入試頻出。重要問題である、2変数関数の最大値・最小値の求め方。 また、ベクトルを利用した別解を紹介。

 

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