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【重複組合せ】2019 大阪医科大学・看護

数学(大学入試問題)

【第1問(4)】

\(8\) 個のリンゴを \(5\) 人で分けるときの分け方を求めよ.

ただし、\(1\) 個も受け取らない人がいても良いが、\(5\) 個以上受け取る人はいないものとする.

重複組合せ

本文では、

\(a+b+c+d+e=8\)

を満たす \(a , b , c , d , e\) の組み合わせを考えれば良い.

(ただし、\(a , b , c , d , e\) はそれぞれ \(0\) 以上 \(4\) 以下)

 

つまり、重複組合せを考えればよい!!

重複組合せの基本については、

重複組合せ|場合の数・確率[数学A]

を参考にしてください。

解答

余事象で考える.

初めに全事象となる

\(a+b+c+d+e=8\)

を満たす \(0\) 以上の整数 \(a , b , c , d , e\) の組み合わせは、

「○を \(8\) 個、|(仕切り) が \(4\) 本」を並べたものに等しいので、

\(\displaystyle\frac{12!}{8! 4!}=495\) 通り

 

(ア) \(a=5\) のとき

\(b+c+d+e=3\) を満たす \(0\) 以上の整数 \( b , c , d , e\) の組み合わせは、

\(\displaystyle\frac{6!}{3! 3!}=20\) 通り

 

(イ) \(a=6\) のとき

\(b+c+d+e=2\) を満たす \(0\) 以上の整数 \( b , c , d , e\) の組み合わせは、

\(\displaystyle\frac{5!}{2! 3!}=10\) 通り

 

(ウ) \(a=7\) のとき

\(b+c+d+e=1\) を満たす \(0\) 以上の整数 \( b , c , d , e\) の組み合わせは、

\(\displaystyle\frac{4!}{3!}=4\) 通り

 

(エ) \(a=8\) のとき

\(b+c+d+e=0\) を満たす \(0\) 以上の整数 \( b , c , d , e\) の組み合わせは、

\(1\) 通り

 

(ア)〜(エ)より、\(20+10+4+1=35\) 通り

\( b , c , d , e\) についても同様にそれぞれ \(35\) 通りあるので、

条件を満たさない組み合わせは、

\(35\times5=175\) 通り

したがって、\(495-175=320\) 通り

参考・別解

上では(ア)〜(エ)の場合分けを行ったが、

この \(4\) つの場合分けを \(1\) つにまとめることが可能である

それは、

\(a+b+c+d+e=3\) を満たす \(0\) 以上の整数 \(a , b , c , d , e\) の組み合わせを考えれば良い.

よって、\(\displaystyle\frac{7!}{3! 4!}=35\) 通り

※\(a+b+c+d+e=3\) を満たす \(0\) 以上の整数 \(a , b , c , d , e\) の組み合わせを考えた後に、残りの \(5\) 個分すべてを \(a , b , c , d , e\) のいずれかに割り振れば良い.

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