【2023福岡大学・医学部】平面に関する対称な点。空間の直線、平面の方程式

【2023福岡大学・医学部】

座標空間において，\(3\) 点 \(A(1,3,0)\)，\(B(0,-1,-3)\)，\(C(2,4,1)\) が定める平面を \(\alpha\) とし，\(D(0,6,-3)\) とする．このとき，\(\alpha\) に関して \(D\) と対称な点 \(E\) の座標は [ ] である．ただし，\(E\) が \(\alpha\) に関して \(D\) と対称であるとは，直線 \(DE\) は \(\alpha\) に垂直であり，かつ線分 \(DE\) の中点は \(\alpha\) 上にあることをいう．また，\(F(1,1,1)\) とするとき，\(\alpha\) 上の点 \(P\) で，\(2\) 線分 \(DP\)，\(FP\) の長さの和 \(DP+FP\) を最小にする \(P\) の座標は [ ] である．

平面の方程式，点と面の距離の公式，外積など，学校の授業では学習しないけど，入試では頻出の知っておきたい差がつくテーマになります。

平面の方程式・点と平面の距離・空間上の直線の方程式・外積の公式まとめ・例題演習

平面の方程式の公式の導き方と使い方。外積を利用した法線ベクトルを利用した解法も紹介。空間ベクトルを利用して、平面の方程式、直線の方程式、点と平面の距離など差がつく分野について公式、使い方の練習。京都大学をはじめ、難関大学では頻出のテーマ。２次試験対策。数学B空間ベクトル

(前半)考え方・方針について
1. 外積について
2. 平面の方程式について
(前半)解答・解説
(後半)考え方・方針について
1. 正領域・負領域とは？
(後半)解答・解説

(前半)考え方・方針について

外積について

※　\(\vec{x}\times\vec{y}\) を \(\vec{x}\) と \(\vec{y}\) の外積という

※　外積は高校数学では学習しません。（教科書に載っていません）そのため，記述式の答案で使用すると、減点される可能性があります。使用する場合は、記述として解答に残さないこと！

平面の方程式について

知らなくても解けますが，知っておくと色々と便利で計算が簡略化できます！

特に難関大学では頻出ですので，覚え・使えるように！

【2021京都大学(理)】平面に対称な点｜平面の方程式の利用｜数学B空間ベクトル

平面の方程式と平面に関して対称な点。平面の方程式は学校ではあまり学習しないが入試頻出の差がつくテーマ。数学B空間ベクトル。京大過去問演習。２次試験対策。頻出・重要問題。外積、平面の方程式の利用。

【2022九州大学】平面に対称な点｜外積・平面の方程式・点と面の距離の公式｜差がつく良問

学校では学習しないが入試頻出の差がつくテーマ。数学B空間ベクトル。２次試験対策。平面の方程式と平面に関して対称な点。頻出・重要問題。外積、平面の方程式、点と面の距離の公式の利用。

(前半)解答・解説

\(\overrightarrow{AB}=(-1,-4,-3)\)，\(\overrightarrow{AC}=(1,1,1)\) より，\(\overrightarrow{AB}\) と \(\overrightarrow{AC}\) の両方に垂直なベクトルの \(1\) つを \(\overrightarrow{n}\) とおくと

\(\overrightarrow{n}=(-1,-2,3)\) となる．

よって平面 \(\alpha\) の方程式は

\(-(x-1)-2(y-3)+3(z-0)=0\)

\(\iff\) \(x+2y-3z-7=0\) ・・・①

点 \(D\) から平面 \(\alpha\) に下ろした垂線の足を \(H\) とおくと

\(DH \perp \)(平面 \(\alpha\)) より実数 \(t\) を用いて

\(\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{OD}+t\overrightarrow{n}\) より

\(\overrightarrow{OH}=(0,6,-3)+t(-1,-2,3)=(-t,-2t+6,3t-3)\)

点 \(H\) は平面 \(\alpha\) 上より①から

\(-t+2(-2t+6)-3(3t-3)-7=0\)

\(t=1\)

よって \(H(-1,4,0)\)