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【時短裏技】共通テスト|データの分析(変量の変換・標準化)

数学(大学入試問題)

データの分析

2015年度のセンター試験から出題されている「データの分析」において、経験値1つで大きく差がつく「変量の変換」について、時間短縮の裏技を紹介します!

「変量の変換」については頻出テーマであり、厳密な解答を行うと、非常に計算が煩雑なため、共通テスト(旧:センター試験)の解答時間内に解ききるのは大変です。

しっかりと解法を覚え、瞬間的に問題を処理し、他の問題にじっくりと時間が使えるようにしましょう!

2017 センター試験

この問題を1分以内に解けますか?

変量の変換の時短裏技をマスターすれば、1分もかからずに処理できます!

【時短裏技】変量の変換

ある \(n\) 個のデータ X (\(x_1 , x_2 , x_3 \cdots x_n\)) に対して、

⑴すべてに  \(a\) を加えると

・平  均: \(+a\)

・分  散:変化しない

・標準偏差:変化しない

 

⑵すべてを \(a\) 倍すると

平  均: \(a\) 倍

分  散: \(a^2\) 倍

標準偏差: \(|a|\) 倍

 

ある \(n\) 個のデータ

X (\(x_1 , x_2 , x_3 \cdots x_n\))

Y (\(y_1 , y_2 , y_3 \cdots y_n\))

に対して、

⑶すべてのデータ X に \(a\) を加え、すべてのデータ Y に \(b\) を加える

共 分 散:変化しない

相関係数:変化しない

 

⑷すべてのデータ X を \(a\) 倍、すべてのデータ Y を \(b\) 倍する

共 分 散: \(ab\) 倍

相関係数

\(ab>0\) ・・・変化しない( 1 倍)

\(ab<0\) ・・・(-1)倍

解説(2017センター)

\(X=1.80\times(D-125.0)+60.0\) ・・・①

の式から読み取るべき情報は、

\(D\) に何を加えて、何倍しているかだけ。

X の分散は、D の分散の [ ソ ] 倍

①より、

X は D から125.0 を引いて、1.80 倍し、60.0 を加えると言う計算。

1 つ 1 つの計算を分解して考える。

 

Step1:D から 125.0 を引く

分散では何を加えても影響しないため、分散の値は変化しない。

 

Setp2:D を 1.80 倍

分散では 元のデータを \(a\) 倍されると、分散は \(a^2\) 倍になるため、

分散は \((1.80)^2=3.24\) 倍

 

Step3:D に 60.0 を加える

Step1 同様、分散では何を加えても影響しないため、分散の値は変化しない。

 

以上から、[ ソ ] =3.24

 

※分散については元のデータに何を加えても影響しない(変化しない)ため、何倍されているかだけを考えればよい

 

X と Y の共分散は、D と Y の共分散の [ タ ] 倍

共分散についても、元のデータに何を加えても影響しない(変化しない)ため、何倍されているかだけに注目する。

・D → X を考えると、1.80倍 (\(a=1.80\))

・Y → Y については、変化していないため 1 倍 (\(b=1\))

と考えることができる。

したがって、共分散は \(ab=1.80\times1=1.80\) 倍

 

以上から、[ タ ] =1.80 

 

X と Y の相関係数は、D と Y の相関係数の [ チ ] 倍

相関係数についても、元のデータに何を加えても影響しない(変化しない)ため、何倍されているかだけに注目する。

上の共分散と同様に考え、

\(ab=1.80>0\) より、相関係数は変化しない ( 1 倍 )

つまり、[ チ ] = 1 

 

2019 センター試験

[ ト ]、[ ナ ]については、

5 秒も必要ない!

瞬殺問題です!

データの標準化

データの標準化とは、与えられたデータを

平均値:0、分散:1(標準偏差:1)

のデータに変換する操作のこと

(正規化。規格化などともいう)

各データ \(x_{k}\) に対して、平均値を \(\bar{x}\) 、標準偏差を \(S_{x}\) とするとき

\(z_{k}=\displaystyle\frac{ x_{k}-\bar{x}}{ S_{x}}\)

解説(2019センター)

まさに2019の問題は、標準化のお話し。

よって、平均値が 0 、分散、標準偏差が 1 となる。

つまり、[ ト ] = 0 、[ ナ ] = 1  

 

標準化に関しては知識として知っておいてください!

参考:偏差値とは

ちなみに、全国模試を受けると必ず目にする「偏差値」は、

\(z_{k}\times10+50\)

を計算することで求めています。

【2021聖マリアンナ医科大学】データの分析と整数問題|分散の最大・最小
データの分析と整数問題の融合。データの分析(平均値、中央値(メジアン)、最頻値(モード)、分散、標準偏差、共分散、相関係数)の公式確認。入試問題演習。共通テスト対策、2次試験対策数学演習。医学部。

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