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2017東京大学・文理共通[第4問整数・数列] 2段仮定の帰納法、ユークリッド互除法

数学(大学入試問題)

【2017東京大学・第4問・文理共通】

\(p=2+\sqrt{5}\) とおき、自然数 \(n = 1 , 2 , 3 , \cdots\) に対して

\(a_{n}=p^n+\left(-\displaystyle\frac{1}{p}\right)^n\)

と定める.以下の問いに答えよ.

(1) \(a_{1}\)、\(a_{2}\) の値を求めよ.

(2) \(n≧2\) とする.積 \(a_{1}a_{n}\) を、\(a_{n+1}\) と \(a_{n-1}\) を用いて表せ.

(3) \(a_{n}\) は自然数であることを示せ.

(4) \(a_{n+1}\) と \(a_{n}\) の最大公約数を求めよ.

教科書には登場しないが、受験数学ではとても有名な問題です。

経験の差が点数の差に直結する、差がつく問題となります。

様々な大学で頻出問題の1つになりますので、しっかりと考え方をマスターしましょう!

考え方・方針の立て方

\(q=-\displaystyle\frac{1}{p}\) とおくと、

\(a_{n}=p^n+q^n\) となり対称式となる.

おえておきたい対称式関係の公式

・\(p^2+q^2=(p+q)^2-2pq\)

・\(p^3+q^3=(p+q)^3-3pq(p+q)\)

☆\(p^{n+1}+q^{n+1}=(p+q)(p^n+q^n)-pq(p^{n-1}+q^{n-1})\)

特に3つ目の「\(p^{n+1}+q^{n+1}=(p+q)(p^n+q^n)-pq(p^{n-1}+q^{n-1})\)」は、数学的帰納法(2段仮定)とセットで出題されます。

 

2段仮定の数学的帰納法については下記の記事を確認しましょう!

【差がつく・頻出】数学的帰納法(2段仮定)・対称式
数学的帰納法(2段仮定)は、一度経験しているかどうかの差がはっきりとつきます。 2020年の広島市立大学・第2問の誘導が丁寧な問題を用いて演習。頻出・重要入試問題

誘導が丁寧で、2段仮定を経験したことがない人にとっては基本的な問題です。有名問題ですので、しっかりと確認を!

ユークリッド互除法

【ユークリッドの互除法】

\(2\) つの自然数 \(a\) 、\(b\) において、\(a\) を \(b\) で割ったときの商を \(q\)、余りを \(r\) とすると

\(a\) と \(b\) の最大公約数は、\(b\) と \(r\) の最大公約数に等しい

解答

(1) \(q=-\displaystyle\frac{1}{p}\) とおくと、

\(a_{n}=p^n+q^n\) .

\(q=-\displaystyle\frac{1}{2+\sqrt{5}}=2-\sqrt{5}\) より

\(p+q=4\)、\(pq=-1\).

\(a_{1}=p+q=4\)

\(a_{2}=p^2+q^2=(p+q)^2-2pq=18\)

 

(2) \(p^{n+1}+q^{n+1}=(p+q)(p^n+q^n)-pq(p^{n-1}+q^{n-1})\) より

\(a_{n+1}=a_{1}a_{n}+a_{n-1}\) ・・・①

よって、\(a_{1}a_{n}=a_{n+1}-a_{n-1}\)

 

(3) 数学的帰納法(2段仮定)で考える

(ⅰ) \(n = 1 , 2\) のとき

(1)より、\(a_{1}\)、\(a_{2}\) は自然数である.

(ⅱ) \(2\) 以上の自然数 \(n = k-1 , k\) のとき

\(a_{k-1}\)、\(a_{k}\) が自然数であると仮定する.

(2)の①より、

\(a_{k+1}=a_{1}a_{k}+a_{k-1}\) であるから

\(a_{k+1}\) も自然数である.

(ⅰ)、(ⅱ)より、すべての自然数に対して \(a_{n}\) は自然数である.

 

(4) (2)の①より \(a_{n+1}=a_{1}a_{n}+a_{n-1}\) 、

また \(a_{1}=4\) であるから、

\(a_{n+1}=4a_{n}+a_{n-1}\)

ユークリッド互除法より、

「 \(a_{n+1}\) と \(a_{n}\) の最大公約数 」は

「 \(a_{n}\) と \(a_{n-1}\) の最大公約数 」に等しい.

これを繰り返すと、

「 \(a_{n}\) と \(a_{n-1}\) の最大公約数 」は、

「 \(a_{2}\) と \(a_{1}\) の最大公約数 」に等しい.

ゆえに、\(a_{1}=4\)、\(a_{2}=18\) であるから、求める値は、\(2\)

類題:2003東京大学

【2003東京大学・第4問・文理共通(一部)】

\(2\) 次方程式 \(x^2-4x-1=0\)  の \(2\) つの実数解のうち大きいものを \(\alpha\)、小さいものを \(\beta\) とする.

\(n = 1 , 2 , 3 , \cdots\)  に対し、\(s_{n}=\alpha^n+\beta^n\) とおく.

(1) \(s_{1}\)、\(s_{2}\)、\(s_{3}\) を求めよ.また、\(n≧3\) に対し、\(s_{n}\) を \(s_{n-1}\) と \(s_{n-2}\) で表せ.

(2) \(\beta^3\) 以下の最大の整数を求めよ.

(3) \(\alpha^{2003}\) 以下の最大の整数の \(1\) の位の数を求めよ.

本問(2003年東京大学)との類題です。演習にどうぞ!

↓ 考え方、解答、解説 ↓

2003東京大学・文理共通(一部)[第4問整数・数列] 対称式、1の位、合同式
対称式、2段仮定の数学的帰納法、1の位、合同式(mod10)と、典型問題かつ良問。 2次試験対策。2017東京大学の類題

 

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