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2022京都大学・第1問|対数の近似|\(5.4<\log_{4}{2022}<5.5\)を示せ

数学(大学入試問題)

【2022京都大学・第1問(文理共通)】

\(5.4<\log_{4}{2022}<5.5\) であることを示せ.

ただし、\(0.301<\log_{10}{2}<0.3011\) であることは用いてよい.

京都大学では定期的に出題される対数についての問題です。

京都大学では、\(\log_{10}{2}=0.301\) と近似値を使わせないことが特徴。

評価式(不等式)を用いて考えさせる問題となります。

当然ですが、勝手に \(\log_{10}{2}=0.301\) と代入して計算すると点数はもらえないので要注意!

考え方・思考の仕方を再現(解答)

以下では、スマートな解答ではなく、初見でどのように考えながら解答を作成していくかを再現しています。その為、もっとここはスマートに記述できる!!などご意見があるかもしれませんが、それは答え(全体像)を知っているからできること。

模範解答を見て、勉強していくことが悪いとは言いませんが、あくまでも模範解答(答えを知っている人が書いているもの)。多少どんくさくても、問題の場面場面でどのように思考・試行するのか、1つの例として参考にしてください。

 

「 \(5.4<\log_{4}{2022}<5.5\) 」を直接示すのが難しいときは、目標を同値変形していき、目標を変えていきましょう!(ゴールからの逆算)

\(5.4<\log_{4}{2022}<5.5\)

\(\iff 5.4<\displaystyle\frac{\log_{10}{2022}}{\log_{10}{4}}<5.5\)

\(\iff 5.4<\displaystyle\frac{\log_{10}{2022}}{2\log_{10}{2}}<5.5\)

\(\iff 10.8\log_{10}{2}<\log_{10}{2022}<11\log_{10}{2}\)

\(\iff \log_{10}{2^{10.8}}<\log_{10}{2022}<\log_{10}{2^{11}}\)

\(\iff 2^{10.8}<2022<2^{11}\) ・・・①

したがって、①を示せばよいと言うことです!

\(2^{11}=2048\) より、\(2022<2^{11}\) が成り立つ.

①の右側の不等式が成り立つことは簡単に確認できました。

あとは、①の左側の不等式について考えていきましょう!

左側についてはまだ直接証明が思いつきませんので、上と同様に、ゴールからの逆算を行っていきます。

次に

\(2^{10.8}<2022\) を考える.

\(\iff 2^{10}\cdot 2^{0.8}<2022\)

\(\iff 2^{0.8}<\displaystyle\frac{2022}{1024}=\displaystyle\frac{1011}{512}\) を示せばよい.

ここで手が止まってしまいました・・・。

なぜ手が止まったのか??

この式において厄介なものは何か??を冷静に考えてみます

 

本問では、\(\log_{10}{2}\) の評価は利用してよいことになっています。

つまり、対数をとって扱える数字は、「 \(2\) 」と「 \(10\) 」のみ

与えられた条件だけで処理しようと思うと、

\(1011\) という値は非常に厄介な値になります。

そこで、「 \(2\) 」と「 \(10\) 」のみを因数に持ち、できる限り

\(1011\) に近い値を考えてみましょう。

 

ここで、

\(2^{0.8}<\displaystyle\frac{1000}{512}\) が成り立つことを示せばよい.

目標は \(2^{0.8}<\displaystyle\frac{1011}{512}\) ですが、

それよりも厳しい条件の \(2^{0.8}<\displaystyle\frac{1000}{512}\) が成り立つことが分かれば、目標の不等式は当然成り立ちます!

さらに、\(1011\) という厄介な値でなく、\(1000=10^3\) という値に持ち込めることも理想的!!

\(2^{0.8}<\displaystyle\frac{1000}{512}\)

\(\iff 0.8\log_{10}{2}<3-9\log_{10}{2}\)

\(\iff 9.8\log_{10}{2}<3\)

\(\iff \log_{10}{2}<\displaystyle\frac{3}{9.8}=\displaystyle\frac{15}{49}\) ・・・② を示せばよい.

 

\(\displaystyle\frac{15}{49}>0.306>3.011>\log_{10}{2}\) より②は成立する.

したがって、\(2^{10.8}<2022\)

以上から①は成立することが分かる.

最後に

全体がつかめた上で、改めて解答を書きなおしてもよいかもしれませんが、上の解答のように、

「 \(\iff\) 〇〇を示せばよい 」

として解答を書いていけば問題はありません!

そして改めてになりますが、\(\log_{10}{2}=0.301\) と代入して計算するのは絶対にダメです。その点についてはよう注意!!

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