【2023公立鳥取環境大・環境、経営】
(1) \(2023\) を素因数分解せよ．
(2) \(n\) を自然数とする．\(2023n\) がある自然数の \(3\) 乗になるような \(n\) のうち，最小のものを求めよ．
(3) 方程式 \(49x+91y=2023\) を満たす自然数の組 \((x,y)\) をすべて求めよ．
(4) 方程式 \(xy+116x+16y-167=0\) を満たす自然数の組 \((x,y)\) をすべて求めよ．
解答・解説
(1) \(2023\) を素因数分解せよ．
\(2023=7\cdot 17^2\)
(2) \(2023n\) がある自然数の \(3\) 乗になるような \(n\) のうち，最小のものを求めよ．
\(2023n=7\cdot 17^2\cdot n\) より
\(2023n\) がある自然数の \(3\) 乗になるような \(n\) のうち，最小のものは
\(n=7^2\cdot 17=833\)
(3) 方程式 \(49x+91y=2023\) を満たす自然数の組 \((x,y)\) をすべて求めよ．
\(49x+91y=2023\) \(\iff\) \(7x+13y=289\) ・・・①
ここで，\(x=2 , y=-1\) は \(7x+13y=1\) の解の \(1\) つであるから
①の解の \(1\) つは \(x=578 , y=-289\) となるので
\(7\cdot 578+13\cdot(-289)=289\) ・・・②
①と②の差をとると
\(7(x-578)+13(y+289)=0\)
\(7(x-578)=-13(y+289)=0\)
\(7\) と \(13\) は互いに素であるから，
整数 \(k\) を用いて
\(x=13k+578\)，\(y=-7k-289\)
\(x\)，\(y\) はともに自然数であるから
\(13k+578>0\) かつ \(-7k-289>0\)
よって，\(-\displaystyle\frac{578}{13}<k<-\displaystyle\frac{289}{7}\)
これを満たす整数 \(k\) は，\(k=-44,-43,-42\)
したがって求める自然数の組 \((x,y)\) は
\((x,y)=(6,19),(19,12),(32,5)\)
(4) 方程式 \(xy+116x+16y-167=0\) を満たす自然数の組 \((x,y)\) をすべて求めよ．
\(xy+116x+16y-167=0\)
\((x+16)(y+116)-16\cdot 116-167=0\)
\((x+16)(y+116)=2023=7\cdot 17^2\)
\(x\)，\(y\) は自然数より，\(x+16≧17\)，\(y+116≧117\)
よって \((x+16,y+116)=(17,119)\)
したがって，\((x,y)=(1,3)\)
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