【2023名古屋大学・理系・第３問】
(１) 方程式 \(e^x=\displaystyle\frac{2x^3}{x-1}\) の負の実数解の個数を求めよ．
(２) \(y=x(x^2-3)\) と \(y=e^x\) のグラフの \(x<0\) における共有点の個数を求めよ．
(３) \(a\) を正の実数とし，関数 \(f(x)=x(x^2-a)\) を考える．\(y=f(x)\) と \(y=e^x\) のグラフの \(x<0\) における共有点は \(1\) 個のみであるとする．このような \(a\) がただ \(1\) つ存在することを示せ．
解答・解説
(１) \(e^x=\displaystyle\frac{2x^3}{x-1}\) の負の実数解の個数
\(x<0\) において \(g(x)=e^x-\displaystyle\frac{2x^3}{x-1}\) とする．
\(g^{\prime}(x)=e^x-\displaystyle\frac{6x^2(x-1)-2x^3}{(x-1)^2}=e^x-\displaystyle\frac{2x^2(2x-3)}{(x-1)^2}>0\) より
\(x>0\) において \(g(x)\) は単調増加となる．
また，\(g(x)\) は連続で，\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty} g(x)=-\infty\) ，\(g(0)=1>0\) より
\(g(x)=0\) は \(x<0\) においてただ \(1\) つの実数解をもつ．
したがって，求める解の個数は \(1\) 個
(２) \(y=x(x^2-3)\) と \(y=e^x\) の \(x<0\) における共有点の個数
\(x<0\) において \(h(x)=e^x-x(x^2-3)\) とする．
\(h^{\prime}(x)=e^x-3(x^2-1)\)
\(h^{\prime\prime}(x)=e^x-6x>0\) より
\(x<0\) において \(h^{\prime}(x)\) は単調増加となり，
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}h^{\prime}(x)=-\infty\) ，\(h^{\prime}(0)=4>0\) より
\(x<0\) において \(h^{\prime}(x)=0\) はただ \(1\) つの実数解をもつ．
ここで，\(h^{\prime}(x)=0\) を満たすただ \(1\) つの解を \(x=\alpha\) ( \(\alpha<0\) ) とおくと
| \(x\) | ・・・ | \(\alpha\) | ・・・ | \(0\) |
| \(h^{\prime}(x)\) | ー | \(0\) | ＋ | |
| \(h(x)\) | ↘️ | ↗️ | \(4\) |
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}h(x)=\infty\) , \(h(0)=4>0\) であり，
\(h(-1)=e^{-1}-2<1-2<0\) であるから，
\(x<0\) において \(h(x)=0\) は \(2\) 個の実数解をもつ．
したがって，求める解の個数は \(2\) 個
(３) \(f(x)=x(x^2-a)\) と \(y=e^x\) の \(x<0\) における共有点が \(1\) 個のみである \(a\) がただ \(1\) つ存在することを示せ．
\(x<0\) において \(i(x)=e^x-f(x)=e^x-x(x^2-a)\) とする．
\(i^{\prime}(x)=e^x-(3x^2-a)\)，\(i^{\prime\prime}(x)=e^x-6x>0\) より
\(x<0\) において \(i^{\prime}(x)\) は単調増加となり，
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}i^{\prime}(x)=-\infty\) ，\(i^{\prime}(0)=1+a>0\) より
\(x<0\) において \(i^{\prime}(x)=0\) はただ \(1\) つの実数解をもつ．
ここで，\(i^{\prime}(x)=0\) を満たすただ \(1\) つの解を \(x=\beta\) ( \(\beta<0\) ) とおくと
| \(x\) | ・・・ | \(\beta\) | ・・・ | \(0\) |
| \(i^{\prime}(x)\) | ー | \(0\) | ＋ | |
| \(i(x)\) | ↘️ | ↗️ | \(4\) |
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}i(x)=\infty\) , \(i(0)=1>0\)
よって題意を満たす条件は，\(i(\beta)=0\) となればよい．
\(i(\beta)=0\) \(\iff\) \(e^{\beta}-\beta(\beta^2-a)=0\) ・・・①
また，
\(i^{\prime}(\beta)=0\) より
\(e^{\beta}-(3\beta^2-a)=0\) ・・・②
②より \(a=3\beta^2-e^{\beta}\) ・・・③
③を①に代入して式を整理すると
\(e^{\beta}=\displaystyle\frac{2\beta^3}{\beta-1}\)
(１)の結果から，これを満たす負の実数がただ \(1\) つ存在する．
このとき③より
\(a=3\beta^2-e^{\beta}=3\beta^2-\displaystyle\frac{2\beta^3}{\beta-1}=\displaystyle\frac{\beta^2(\beta-3)}{\beta-1}>0\) となり，
正の実数 \(a\) がただ \(1\) つ存在する．
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