(１)、(２)問題《ア～コ》
(１)、(２)解答・解説《ア～コ》
(１)\(a_{n+1}-a_{n}=14\)，\(a_{1}=10\) のとき
数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) は等差数列であるから
\(a_{n}=a_{1}+14(n-1)\) ・・・《オカ》
よって，\(a_{n}=14n-4\)
ゆえに，\(a_{2}=24\) ，\(a_{3}=38\) ・・・《ア～エ》
(２)\(2b_{n+1}-b_{n}+3=0\) より
\(b_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}b_{n}-\displaystyle\frac{3}{2}\)
\(\alpha=\displaystyle\frac{1}{2}\alpha-\displaystyle\frac{3}{2}\) \(\iff\) \(\alpha=-3\)
よって，\(b_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}b_{n}-\displaystyle\frac{3}{2}\)
\(\iff\) \(b_{n+1}+3=\displaystyle\frac{1}{2}(b_{n}+3)\)
数列 \(\left\{b_{n}+3\right\}\) は、初項が \(b_{1}+3\) 、公比が \(\displaystyle\frac{1}{2}\) の等比数列であるから、
\(b_{n}+3=(b_{1}+3)\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)
したがって、\(b_{n}=(b_{1}+3)\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{n-1}-3\) ・・・《キ～コ》
(３)の(ⅰ)(ⅱ)問題《サ～ツ》
(３)の(ⅰ)(ⅱ)解答・解説《サ～ツ》
\((c_{n}+3)(2c_{n+1}-c_{n}+3)=0\) ・・・①
(ⅰ) \(c_{1}=5\) のとき
\((c_{1}+3)(2c_{2}-c_{1}+3)=0\)
\(8(2c_{2}-2)=0\)
よって \(c_{2}=1\) ・・・《サ》
\(c_{3}=-3\) のとき
\((c_{2}+3)(2c_{3}-c_{2}+3)=0\)
\((c_{2}+3)^2=0\)
よって，\(c_{2}=-3\) ・・・《シス》
同様に，\(c_{1}=-3\) ・・・《セソ》
(ⅱ) \(c_{3}=-3\) のとき，\(c_{4}\) について
\((c_{3}+3)(2c_{4}-c_{3}+3)=0\) より \(c_{4}\) がどのような値でも成立する
・\(c_{3}=-3\)，\(c_{4}=5\) のとき
\((c_{4}+3)(2c_{5}-c_{4}+3)=0\)
\(8(2c_{5}-2)=0\)
よって \(c_{5}=1\) ・・・《タ》
・\(c_{3}=-3\)，\(c_{4}=83\) のとき
\((c_{4}+3)(2c_{5}-c_{4}+3)=0\)
\(87(2c_{5}-80)=0\)
よって \(c_{5}=40\) ・・・《チツ》
(３)の(ⅲ)問題《テ》
(３)の(ⅲ)解答・解説《テ》
\((c_{n}+3)(2c_{n+1}-c_{n}+3)=0\) ・・・①
命題A 数列 \(\left\{c_{n}\right\}\) が①を満たし，\(c_{1}\not=-3\) であるとする．このとき，すべての自然数 \(n\) について \(c_{n}\not=-3\) である．
すべての自然数 \(n\) に対する証明であるから，数学的帰納法を用いて示せばよい．
つまり，③ \(n=k\) のとき \(c_{n}\not=-3\) が成り立つと仮定すると， \(n=k+1\) のとき \(c_{n}\not=-3\) が成り立つ・・・《テ》ことを示せばよい．
実際，このようにして命題Aが真であることを証明できる．
(３)の(ⅳ)問題《ト》
(３)の(ⅳ)解答・解説《ト》
(Ⅰ)について
(３)の(ⅲ)で命題A『 \(c_{1}\not=-3\) ⇒ すべての自然数 \(n\) について \(c_{n}\not=-3\) 』が成り立つことが分かった．
この命題Aより，\( c_{1}=3\) かつ \(c_{100}\not=-3\) は満たさない．
ゆえに(Ⅰ)は偽である
(Ⅱ)について
\(c_{1}=-3\) のとき，
\((c_{1}+3)(2c_{2}-c_{1}+3)=0\) より \(c_{2}\) がどのような値でも成立する
ここで \(c_{2}=-3\) とすると同様に，\(c_{3}\) がどのような値でも成立する
\( c_{1}=c_{2}= c_{3}=\cdots= c_{100}=-3\) とできるため，(Ⅱ)は真
(Ⅲ)について
\(c_{1}=-3\) のとき，
\((c_{1}+3)(2c_{2}-c_{1}+3)=0\) より \(c_{2}\) がどのような値でも成立する
ここで \(c_{2}=-3\) とすると同様に，\(c_{3}\) がどのような値でも成立する
\( c_{1}=c_{2}= c_{3}=\cdots= c_{99}=-3\) とすると，\(c_{100}\) がどのような値でも成立するので，\(c_{100}=3\) とできる．ゆえに(Ⅲ)は真
(Ⅰ)～(Ⅲ)の真偽の組合せとして正しいものは《ト：④》
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