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【2021広島大学】y=cos3x,y=cos7x(x≧0)の共有点について|数学Ⅱ:三角関数

数学(大学入試問題)

【2021広島大学】

(1) \(A=\sin x\) とおく.\(\sin 5x\) を \(A\) の整式で表せ.

(2) \(\sin^2\displaystyle\frac{\pi}{5}\) の値を求めよ.

(3) 曲線 \(y=\cos 3x\) ( \(x≧0\) ) と曲線 \(y=\cos7x\) ( \(x≧0\) ) の共有点の \(x\) 座標を小さい方から順に \(x_{1}\) , \(x_{2}\) , \(x_{3}\) , \(\cdots\) とする.このとき,関数 \(y=\cos 3x\) ( \(x_{5}≦x≦x_{6}\) ) の値域を求めよ.

(1) \(\sin 5x\) を \(\sin x\) で表せ

加法定理や 2 倍角,3 倍角の公式など,三角関数の公式をたくさん利用します。

公式がしっかりと覚えられていない人は,「【三角関数】公式まとめ&差がつく入試問題演習」で今一度公式を確認しましょう!

(1)解答・解説

\(\sin 5x=\sin (3x+2x)\)

\(=\sin 3x\cos 2x+\cos 3x\sin 2x\)

\(=(3\sin x-4\sin^3x)(1-2\sin^2x)+(4\cos^3-3\cos x)\cdot 2\sin x\cos x\)

\(=8\sin^5 x-10\sin^3 x+3\sin x+2\sin x\cos^2 x(4\cos^2x-3)\)

\(A=\sin x\) とおくと,\(\cos^2x=1-\sin^2x=1-A^2\) より

\(\sin 5x=8A^5-10A^3+3A+2A(1-A^2)\left\{4(1-A^2)-3\right\}\)

\(=8A^5-10A^3+3A+2A(1-A^2)(1-4A^2)\)

\(=16A^5-20A^3+5A\)

(2) \(\sin^2\displaystyle\frac{\pi}{5}\) の値

(2)解答・解説

\(x=\displaystyle\frac{\pi}{5}\) のとき,\(\sin 5x=0\) なので,

\(A=\sin \displaystyle\frac{\pi}{5}\) とすると,(1) より

\(16A^5-20A^3+5A=0\)

\(A(16A^4-20A^2+5)=0\)

\(A=\sin \displaystyle\frac{\pi}{5}\not=0\) より

\(16A^4-20A^2+5=0\)

\(16(A^2)^2-20A^2+5=0\)

\(A^2=\displaystyle\frac{5\pm\sqrt{5}}{8}\)

\(A=\sin \displaystyle\frac{\pi}{5}<\sin \displaystyle\frac{\pi}{4}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\) より

\(A^2=\sin^2 \displaystyle\frac{\pi}{5}<\displaystyle\frac{1}{2}\) であるから

\(A^2=\displaystyle\frac{5-\sqrt{5}}{8}\)

(3) \(\cos A=\cos B\) について

考え方①単位円で考える

\(\cos A=\cos B\)

\(\iff\) \(A=\pm B+2n\pi\) ( \(n\) は整数 )

考え方②和積の公式の利用

和積の公式

\(\cos A-\cos B=-2\sin\displaystyle\frac{A+B}{2}\sin\displaystyle\frac{A-B}{2}\)

(3)解答・解説

\(\cos 7x=\cos 3x\)

\(\iff\) \(7x=\pm3x+2n\pi\) ( \(n\) は整数 )

\(\iff\) \(x=\displaystyle\frac{n\pi}{2}\) または \(x=\displaystyle\frac{n\pi}{5}\)

\(x≧0\) を満たすものを小さい順に並べると,

\(x = 0 , \displaystyle\frac{\pi}{5} , \displaystyle\frac{2\pi}{5} , \displaystyle\frac{\pi}{2} , \displaystyle\frac{3\pi}{5} , \displaystyle\frac{4\pi}{5} , \cdots\)

よって,\(x_{5}=\displaystyle\frac{3\pi}{5}\) , \(x_{6}=\displaystyle\frac{4\pi}{5}\)

\(y=\cos 3x\) ( \(x_{5}≦x≦x_{6}\) ) において

\(\displaystyle\frac{9\pi}{5}≦3x≦\displaystyle\frac{12\pi}{5}\) であるから

求める値域は,

\(\cos \displaystyle\frac{12\pi}{5}≦y≦1\) ・・・①

ここで,\(\cos \displaystyle\frac{12\pi}{5}=\cos \displaystyle\frac{2\pi}{5}=1-2\sin^2\displaystyle\frac{\pi}{5}=1-2A^2\)

(2)より \(A^2=\displaystyle\frac{5-\sqrt{5}}{8}\) であるから

\(\cos \displaystyle\frac{12\pi}{5}=1-2\cdot\displaystyle\frac{5-\sqrt{5}}{8}=\displaystyle\frac{\sqrt{5}-1}{4}\)

したがって①より,

\(\displaystyle\frac{\sqrt{5}-1}{4}≦y≦1\)

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