【2023大阪大学・文系・第３問】
平面上の \(3\) 点 \(O\) , \(A\) , \(B\) が
\(\left|2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right|=\left|\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}\right|=1\) かつ \(\left(2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)\cdot\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)=\displaystyle\frac{1}{3}\)
をみたすとする．
(１) \(\left(2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)\cdot\left(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}\right)\) を求めよ．
(２) 平面上の点 \(P\) が
\(\left|\overrightarrow{OP}-\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)\right|≦\displaystyle\frac{1}{3}\) かつ \(\overrightarrow{OP}\cdot\left(2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)≦\displaystyle\frac{1}{3}\)
をみたすように動くとき，\(\left|\overrightarrow{OP}\right|\) の最大値と最小値を求めよ．
解答・解説
(１)
\(\left|2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right|=\left|\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}\right|=1\) ・・・①
\(\left(2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)\cdot\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)=\displaystyle\frac{1}{3}\) ・・・②
\(2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{x}\) ・・・③
\(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{y}\) ・・・④
とおく．
①，③，④より \(\left|\overrightarrow{x}\right|=\left|\overrightarrow{y}\right|=1\) ・・・⑤
③＋④より
\(3\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)=\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\)
よって，\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\displaystyle\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\right)\) ・・・⑥
②，③，⑥より
\(\overrightarrow{x}\cdot\displaystyle\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\right)=\displaystyle\frac{1}{3}\)
よって，\(\left|\overrightarrow{x}\right|^2+\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}=1\)
⑤より \(\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}=0\) ・・・⑦
したがって， \(\left(2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)\cdot\left(\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}\right)=0\)
(２)
⑤，⑦より
\(\overrightarrow{x}=(1,0)\)，\(\overrightarrow{y}=(0,1)\) とすると
\(\left|\overrightarrow{OP}-\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)\right|≦\displaystyle\frac{1}{3}\) より
点 \(P\) は中心 \(\displaystyle\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\right)=\left(\displaystyle\frac{1}{3},\displaystyle\frac{1}{3}\right)\) ，半径 \(\displaystyle\frac{1}{3}\) の円の周および内部を表す．
また \(\overrightarrow{OP}\cdot\left(2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)≦\displaystyle\frac{1}{3}\) より
\(P(x,y\) とすると，\(x≦\displaystyle\frac{1}{3}\)
したがって点 \(P\) が動く範囲は
右図の斜線部分(境界線を含む)
\(\left|\overrightarrow{OP}\right|\) の最大値は \(P\left(\displaystyle\frac{1}{3},\displaystyle\frac{2}{3}\right)\) のとき
\(\left|\overrightarrow{OP}\right|=\sqrt{\left(\displaystyle\frac{1}{3}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^2}=\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{3}\)
\(\left|\overrightarrow{OP}\right|\) の最小値は
右図のように
原点と円の中心を通る線分と，円の交点が \(P\) のとき
よって最小値は \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{3}-\displaystyle\frac{1}{3}\)
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