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2018東京大学・理系[第2問整数]anが整数となるn|規約分数・減少数列

数学(大学入試問題)

【2018東京大・理】

数列 \(a_{1}\)、\(a_{2}\)、\(\cdots\) を

\(a_{n}=\displaystyle\frac{_{2n+1}C_{n}}{n !}\) ( \(n = 1 , 2 , 3 , \cdots\) )

で定める.

(1) \(n≧2\) とする.\(\displaystyle\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\) を既約分数 \(\displaystyle\frac{q_{n}}{p_{n}}\) として表したときの分母 \(p_{n}≧1\) と分子 \(q_{n}\) を求めよ.

(2) \(a_{n}\) が整数となる \(n≧1\) をすべて求めよ.

(1) 確認事項・考え方・方針について

確認事項

・\(_{n}C_{r}=\displaystyle\frac{n!}{r!(n-r)!}\)

 

・\(\displaystyle\frac{q_{n}}{p_{n}}\) が既約分数

⇒ \(p_{n}\)、\(q_{n}\) が互いに素(最大公約数が \(1\)) であることを確認する必要あり

互いに素であることの証明について

互いに素であることの証明について

  1. 最大公約数 \(g\) が1であることを直接示す
  2. 背理法(最大公約数 \(g\) が2以上と仮定)の利用
  3. ユークリッドの互除法の利用
  4. 「\(a , b\) が互いに素」\(\Leftrightarrow\) 「\(ax+by=1\) が整数解をもつ」の利用
※互いに素・・・最大公約数が「1」である

ユークリッド互除法

【ユークリッドの互除法】

\(2\) つの自然数 \(a\) 、\(b\) において、\(a\) を \(b\) で割ったときの商を \(q\)、余りを \(r\) とすると

\(a\) と \(b\) の最大公約数は、\(b\) と \(r\) の最大公約数に等しい

 

(1) 解答・解説

\(n≧2\) のとき、

\(\displaystyle\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=\displaystyle\frac{_{2n+1}C_{n}}{n !}\times \displaystyle\frac{(n-1)!}{_{2n-1}C_{n-1}}\\=\displaystyle\frac{(2n+1)!}{n!n!(n+1)!}\times \displaystyle\frac{(n-1)!(n-1)!n!}{(2n-1)!}\\=\displaystyle\frac{2(2n+1)}{n(n+1)}\)

《注意》この結果から安易に、

\(p_{n}=n(n+1)\)、\(q_{n}=2(2n-1)\) としてはダメ!

既約分数かどうか、つまり、\(p_{n}\) と \(q_{n}\) が互いに素であるかどうかを確認する必要あり!

\(2(2n+1)\) は \(2\) を約数に持つことは一目瞭然。

\(n(n+1)\) は連続する \(2\) つの自然数の積であるから、\(2\) の倍数になる。

つまり、\(2(2n+1)\) と \(n(n+1)\) は少なくとも \(2\) で割れることが分かる。

よって、\(\displaystyle\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=\displaystyle\frac{2n+1}{\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1)}\) ・・・①

①において、\(n(n+1)\) は連続する \(2\) つの自然数の積であるから、\(2\) の倍数。

よって、\(\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1)\) は \(1\) 以上の整数となる。

また、\(2n+1=n\times 2+1\) より、

ユークリッド互除法を用いると、\(2n+1\) と \(n\) の最大公約数は \(1\) であるから、

\(2n+1\) と \(n\) は互いに素であることが分かる。

さらに、\(2(n+1)=(2n+1)+1\) より、

ユークリッド互除法を用いると、\(2(n+1)\) と \(2n+1\) の最大公約数は \(1\) であるから、

\(2n+1\) と \(n+1\) は互いに素であることが分かる。

したがって、\(2n+1\) と \(n(n+1)\) は互いに素であるから、

\(2n+1\) と \(\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1)\) は互いに素となる。

ゆえに、\(p_{n}=\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1)\)、\(q_{n}=2n+1\)

 

(2) 考え方・方針の立て方

過去に経験した類題を検索せよ!

入試会場で、一度やったことのある問題がそのまま出る可能性はそこまで高くありません。

しかし、一度経験したことのある考え方、類題が出題されることはよくあります。

(1)にて、\(\displaystyle\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\) をわざわざ計算しました。

この後に何も使わないはずがない!

\(\displaystyle\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\) の形を見たら、ある有名問題が頭の中に浮かんでほしいものです!

「???」の人は、

【数学A】確率Pnの最大値の求め方・考え方(2018関西学院大学)
受験数学での頻出・重要テーマの、反復試行の確率の最大値の求め方。 ただ答えを求めるだけでなく、考え方について解説。

を一度ご確認ください。超有名問題ですので、今回の問題に関わらず、絶対にできるようにしておきましょう!

単調に増加・減少する数列

\(\displaystyle\frac{a_{n}}{a_{n-1}}<1\) のとき

\(\displaystyle\frac{2(2n+1)}{n(n+1)}<1\)

\(n(n-3)>2\) より、これを満たす整数は \(n≧4\)

つまり、\(n≧4\) において、

\(a_{n}<a_{n-1}\) (単調減少する数列) であることが分かる

 

Point:整数問題の極意➡実験する!

(1)の結果を用いるのかな??と漠然としたことは分かっても、問題を眺めているだけでは方針は見えません。

整数問題のPointはたくさんありますが、整数問題の極意は実験!

実験をすることで、多くの整数問題は方針、答えが見えてきます.

実験せずに問題が解けなかった(方針が見えなかった)人は、今一度具体的に \(n = 1 , 2 , 3 , \cdots\) と実験をしてみてください.

 

具体的に実験

(1)の結果から、

\(a_{n}=\displaystyle\frac{_{2n+1}C_{n}}{n !}\)、\(p_{n}=\displaystyle\frac{1}{2}n(n+1)\)、\(q_{n}=2n+1\) のとき

\(\displaystyle\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=\displaystyle\frac{q_{n}}{p_{n}}\)

つまり、\(a_{n}=\displaystyle\frac{q_{n}}{p_{n}}a_{n-1}\) ・・・(☆)

 

・\(n=1\) のとき、\(a_{1}=\displaystyle\frac{_{3}C_{1}}{1 !}=3\)

・\(n=2\) のとき、(☆)より \(a_{2}=\displaystyle\frac{q_{2}}{p_{2}}a_{1}=5\)

・\(n=3\) のとき、(☆)より \(a_{3}=\displaystyle\frac{q_{3}}{p_{3}}a_{2}=\displaystyle\frac{35}{6}\)

これ以降、\(a_{n}\) は単調に減少していく!

・\(n=4\) のとき、(☆)より \(a_{4}=\displaystyle\frac{q_{4}}{p_{4}}a_{3}=\displaystyle\frac{21}{4}\)

・\(n=5\) のとき、(☆)より \(a_{5}=\displaystyle\frac{q_{5}}{p_{5}}a_{4}=\displaystyle\frac{77}{20}\)

・\(n=6\) のとき、(☆)より \(a_{6}=\displaystyle\frac{q_{6}}{p_{6}}a_{5}=\displaystyle\frac{143}{60}\)

これを繰り返していくと、どこかで \(a_{n}<1\) になる!

当然であるが、それ以降に \(a_{n}\) が整数となることはない!

(2) 解答

\(\displaystyle\frac{a_{n}}{a_{n-1}}<1\) のとき

\(\displaystyle\frac{2(2n+1)}{n(n+1)}<1\)

\(n(n-3)>2\) より、この不等式を満たす整数は \(n≧4\)

つまり、\(n≧4\) において、

\(a_{n}<a_{n-1}\) ・・・②

 

・\(n=1\) のとき、\(a_{1}=\displaystyle\frac{_{3}C_{1}}{1 !}=3\)

・\(n=2\) のとき、\(a_{2}=\displaystyle\frac{q_{2}}{p_{2}}a_{1}=5\)

・\(n=3\) のとき、\(a_{3}=\displaystyle\frac{q_{3}}{p_{3}}a_{2}=\displaystyle\frac{35}{6}\)

・\(n=4\) のとき、\(a_{4}=\displaystyle\frac{q_{4}}{p_{4}}a_{3}=\displaystyle\frac{21}{4}\)

・\(n=5\) のとき、\(a_{5}=\displaystyle\frac{q_{5}}{p_{5}}a_{4}=\displaystyle\frac{77}{20}\)

・\(n=6\) のとき、\(a_{6}=\displaystyle\frac{q_{6}}{p_{6}}a_{5}=\displaystyle\frac{143}{60}\)

・\(n=7\) のとき、\(a_{7}=\displaystyle\frac{q_{7}}{p_{7}}a_{6}=\displaystyle\frac{143}{112}\)

・\(n=8\) のとき、\(a_{8}=\displaystyle\frac{q_{8}}{p_{8}}a_{7}=\displaystyle\frac{2431}{4032}\)

\(a_{8}<1\) かつ ②より、\(n≧8\) では、\(0<a_{n}<1\) となるため、\(a_{n}\) が整数にはならない.

したがって、\(a_{n}\) が整数となるものは、\(n = 1 , 2\)

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