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【cosのn倍角の公式】チェビシェフの多項式

三角関数

チェビシェフの多項式

チェビシェフの多項式
\(\cos n \theta\) は \(\cos \theta\) の \(n\) 次多項式で表せる
【2023京都大学・理系・第6問】三角関数とチェビシェフの多項式
cosθ=1/p(pは素数)のとき、θ=(m/n)πとなる正の整数m,nは存在するか否か。チェビシェフの多項式(cosのn倍角についての性質)を利用。2023京都大学・理系・第6問。解答・解説。京大過去問題演習対策。数学Ⅱ:三角関数

\(\cos \) で成り立つ性質ということは,\(\sin \) でも成り立ちますか??

残念ながら,\(\sin\) ではうまくいきません!

ここでは説明は省略しますが,\(\sin n \theta\) は\(\sin \theta\) と\(\cos \theta\) の \(n-1\) 次多項式の積で表されることがわかっています!

具体例(\(n=1,2,3,4\) )

\(\cos \theta=\cos \theta\)
\(\cos 2\theta=2\cos^2 \theta-1\)
\(\cos 3\theta=4\cos^3 \theta-3\cos \theta\)
\(\cos 4\theta=8\cos^4 \theta-8\cos^2 \theta+1\)

確かに\(\cos n \theta\) は, \(\cos \theta\) の \(n\) 次多項式で表せそうですね!

さらに,最高次の係数は,\(2^{n-1}\) になることも予想できます!

チェビシェフの多項式と漸化式

すべての自然数 \(n\) に対して,\(\cos n \theta=T_{n}(\cos \theta)\) で表せる.

\(T_{1}(x)=x\) ,\(T_{2}(x)=2x^2-1\)

\(T_{n+2}(x)=2xT_{n+1}(x)-T_{n}(x)\)

下記でこの三項間の漸化式が成立することを証明しましょう!

チェビシェフの多項式(証明)

\(n=1,2\) のとき,\(T_{1}(x)=x\) ,\(T_{2}(x)=2x^2-1\) が成立することは明らか.

三角関数の加法定理より

\(\cos(n+1) \theta=\cos n \theta\cos \theta-\sin n \theta\sin \theta\)

\(\cos(n-1) \theta=\cos n \theta\cos \theta+\sin n \theta\sin \theta\)

\(2\) 式を加えると

\(\cos(n+1) \theta+\cos(n-1) \theta=2\cos n \theta\cos \theta\)

\(\cos(n+1) \theta=2\cos n \theta\cos \theta-\cos(n-1) \theta\)

よって,

\(\cos(n+2) \theta=2\cos \theta\cos(n+1) \theta-\cos n \theta\)

であるから,

\(T_{n+2}(x)=2xT_{n+1}(x)-T_{n}(x)\) が成立.

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