【2023早稲田大学・商】n^2+n+1が91で割り切れるnで小さい順から100番目

解答・解説

(１)　\(n^2+n+1\) が \(7\) で割り切れる \(n\) を小さい順に並べるとき，\(100\) 番目

整数問題を扱う上で，合同式は必須アイテムになります！

合同式の基本的な性質については「合同式とは？合同式の基本性質を理解し、使えるようにする」を参考に！

合同式（基本編）基本的な問題で合同式を使う練習

合同式を使いこなすことで、整数分野の問題（余りに関する問題）を簡略化して処理できる。しかし慣れが必要であるため、基本的な問題を用いて合同式に慣れるための演習問題。 13の100乗を9で割った余り、nの2乗を3で割った余りなど、頻出問題を使って演習。

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2021.07.17

\(mod 7\) として考える．

・\(n≡0\) のとき \(n^2+n+1≡1\)

・\(n≡1\) のとき \(n^2+n+1≡3\)

・\(n≡2\) のとき \(n^2+n+1≡0\)

・\(n≡3\) のとき \(n^2+n+1≡6\)

・\(n≡4\) のとき \(n^2+n+1≡0\)

・\(n≡5\) のとき \(n^2+n+1≡3\)

・\(n≡6\) のとき \(n^2+n+1≡1\) より

\(n^2+n+1\) が \(7\) で割り切れるのは

\(n\) を \(7\) で割ったときの余りが \(2\) または \(4\) のとき

つまり，\(0\) 以上の整数 \(m\) を用いて

\(n=7m+2\)，\(7m+4\)

したがって，\(100\) 番目の整数は \(m=49\) のとき

\(n=7\times 49+4=\)\(347\)

(２)　\(n^2+n+1\) が \(91\) で割り切れる \(n\) を小さい順に並べるとき，\(100\) 番目

\(91=7\times 13\) より

\(mod 13\) として考える．

\(n≡0,1,2,\cdots,12\) の中で

\(n^2+n+1≡0\) となるのは

\(n≡3,9\) のとき

よって \(0\) 以上の整数 \(k\) を用いて

\(n=13k+3\) ，\(13k+9\)

\(n^2+n+1\) が \(91\) で割り切れるのは，

『\(n=7m+2\) または \(7m+4\)』かつ『\(n=13k+3\) ，\(13k+9\)』のとき

( ⅰ )　\(n=7m+2\) かつ \(n=13k+3\) のとき

一次不定方程式の解法については

【頻出】１次不定方程式 (ax+by=c)の解法２つ(模範解答と時短裏技)

を参考に！

\(7m+2=13k+3\) \(\iff\) \(7m-13k=1\)

\((m,k)=(2,1)\) は解の \(1\) つより

\(7\times 2-13\times 1=1\)

差を考えると

\(7(m-2)=13(k-1)\)

\(7\) と \(13\) は互いに素であるから，

\(m-2=13l\) ( \(l\) は整数 )

\(m=13l+2\)

\(n=7(13l+2)+2=91l+16\)

( ⅱ )　\(n=7m+2\) かつ \(n=13k+9\) のとき

( ⅰ ) と同様に考えると \(n=91l+9\)

( ⅲ )　\(n=7m+4\) かつ \(n=13k+3\) のとき

( ⅰ ) と同様に考えると \(n=91l+81\)

( ⅳ )　\(n=7m+2\) かつ \(n=13k+9\) のとき

( ⅰ ) と同様に考えると \(n=91l+74\)

ゆえに，\(n=91l+9\)，\(91l+16\)，\(91l+74\)，\(91l+81\) ( \(l\) は \(0\) 以上の整数 )

したがって， \(n\) を小さい順に並べるとき，\(100\) 番目の整数は \(l=24\) のとき

\(n=91\times 24+81=\)\(2265\)