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【2022京都府立大学】nが30と互いに素であるとき、n^2を12で割った余り

2022年入試問題

【2022京都府立大学・生命環境(環境・情報科)第1問(3)】

自然数 \(n\) が \(30\) と互いに素であるとき,\(n^2\) を \(12\) で割った余りは \(1\) であることを証明せよ.

解答・解説

解答には合同式を利用します。

合同式は整数問題を扱う上で必須アイテムになりますので、不安がある方は

合同式とは?合同式の基本性質を理解し、使えるようにする」を参考に!

自然数 \(n\) が \(30\) と互いに素であるとき,\(0\) 以上の整数 \(x\),\(y\) を用いて

\(n=30x+y\) と表せ,

\(30=2\times 3\times 5\) より,

\(y\) は 「\(29\) 以下の整数」かつ「 \(2\),\(3\),\(5\) と互いに素 」となる.

よって \(y=1,7,11,13,17,19,23,29\) のいずれかとなる.

\(n^2=(30x+y)^2=900x^2+60xy+y^2\)

ここで,以下 \(mod 12\) として考えると

\(n^2≡y^2\) であるから,\(y=1,7,11,13,17,19,23,29\) のとき

\(y^2≡1\) となることを示せば良い.

(ア) \(y=1\) のとき

\(y^2≡1\) より成立

(イ) \(y=7\) のとき

\(y^2=7^2=49≡1\) より成立

(ウ) \(y=11\) のとき

\(y≡-1\) より \(y^2≡1\) となり成立

(エ) \(y=13\) のとき

\(y≡1\) より \(y^2≡1\) となり成立

(オ) \(y=17\) のとき

\(y≡5\) より \(y^2≡5^2≡1\) となり成立

(カ) \(y=19\) のとき

\(y≡-5\) より \(y^2≡(-5)^2≡1\) となり成立

(キ) \(y=23\) のとき

\(y≡-1\) より \(y^2≡1\) となり成立

(ク) \(y=29\) のとき

\(y≡5\) より \(y^2≡5^2≡1\) となり成立

以上より,題意は示された.

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