【2024一橋大学・第１問】整数と数列。絞り込みを利用し、積が2024となる自然数

整数問題のPoint

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

整数問題の多くが、上の１から３のいずれかで処理できます。

解答・解説

\(\displaystyle\sum_{k=1}^mk(n-2k)=n\sum_{k=1}^mk-2\sum_{k=1}^mk^2\)

\(=n\cdot \displaystyle\frac{1}{2}m(m+1)-2\cdot\displaystyle\frac{1}{6}m(m+1)(2m+1)\)

\(=\displaystyle\frac{1}{6}m(m+1)(3n-4m-2)\)

また，\(2024=2^3\times 11\times 23\) より

\(\displaystyle\frac{1}{6}m(m+1)(3n-4m-2)= 2^3\times 11\times 23\)

\(m(m+1)(3n-4m-2)= 2^4\times 3\times 11\times 23\)

\(m\)，\(m+1\) は連続する正の整数であり，いずれか一方は奇数となることに注意すると

\(n\) は正の整数より

\((m,n)=(1,2026), (2,678), (3,342), (11,46), (22,38)\)