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【2021早稲田大学・商】∠B=2α,∠C=2β,tanαtanβ=x,(AB+AC)/BC=yのときyをxで表せ

数学(大学入試問題)

【2021早稲田大学・商】

三角形 \(ABC\) において,\(\angle B=2\alpha\),\(\angle C=2\beta\) とする.

\(\tan\alpha\tan\beta=x\),\(\displaystyle\frac{AB+AC}{BC}=y\) とするとき,\(y\) を \(x\) で表せ.

三角比や三角関数の公式はただただ覚えるだけではダメです!しっかりと実践問題の中で使えるかどうかがとても大切!そこで,三角比・三角関数のただただ公式を使うだけの問題あるが,差がつく良問を通し,しっかりと演習を行いましょう!

三角関数の公式確認

《加法定理》

・\(\sin(\alpha±\beta)=\sin\alpha \cos\beta±\cos\alpha \sin\beta \)

・\(\cos(\alpha±\beta)=\cos\alpha \cos\beta ∓\sin\alpha \sin\beta \)

・\(\tan(\alpha±\beta)=\displaystyle\frac{\tan\alpha±\tan\beta }{1∓\tan\alpha \tan\beta }\)

《2倍角の公式》

\(\begin{align*} \sin2\alpha &= 2\sin\alpha\cos\alpha \\[5pt] \cos2\alpha &= \cos^2\alpha – \sin^2\alpha \\[5pt] &= 1-2\sin^2\alpha \\[5pt] &= 2\cos^2\alpha -1 \\[5pt] \tan2\alpha &= \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \end{align*}\)

《和積の公式》

\(\begin{align*} \sin \alpha + \sin \beta &= 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}\\[5pt]\sin \alpha – \sin \beta &= 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}\\[5pt]\cos \alpha + \cos \beta &= 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}\\[5pt]\cos \alpha – \cos \beta &= -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} \\[5pt] \end{align*}\)

解答

\(\triangle ABC\) の外接円の半径を \(R\) とすると,正弦定理より

\(\displaystyle\frac{BC}{\sin\left\{2\pi-(2\alpha+2\beta)\right\}}=\displaystyle\frac{AC}{\sin  2\alpha}=\displaystyle\frac{AB}{\sin 2\beta}=2R\)

よって,

\(BC=2R\sin\left\{2\pi-(2\alpha+2\beta)\right\}=2R\sin2(\alpha+\beta)\)

\(AC=2R\sin2\alpha\)

\(AB=2R\sin2\beta\) より

\(y=\displaystyle\frac{2R\sin2\alpha+2R\sin2\beta}{2R\sin2(\alpha+\beta)}=\displaystyle\frac{\sin2\alpha+\sin2\beta}{\sin2(\alpha+\beta)}\) ・・・①

(分子)は和積の公式

(分母)は2倍角の公式を利用!

ここで,

(分子) \(=2\sin (\alpha+\beta)\cos (\alpha-\beta)\)

(分母) \(=2\sin (\alpha+\beta)\cos (\alpha+\beta)\)

であるから①より

\(y=\displaystyle\frac{\cos (\alpha-\beta)}{\cos (\alpha+\beta)}\)

(分母),(分子)に加法定理を利用!

\(y=\displaystyle\frac{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}\)

(分母),(分子)を \(\cos\alpha\cos\beta\) で割る!

\(y=\displaystyle\frac{1+\displaystyle\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}{1-\displaystyle\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}=\displaystyle\frac{1+\tan\alpha\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\)

したがって,\(y=\displaystyle\frac{1+x}{1-x}\)

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