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【格子点】放物線と直線で囲まれた領域の格子点の個数|お茶の水女子大学

数学(大学入試問題)

【お茶の水女子大学】

\(n\) を自然数とする.不等式

\(y≦2n^2\) , \(y≧\displaystyle\frac{1}{2}x^2\) , \(x≧0\)

を同時に満たす整数の組 \((x,y)\) の個数を求めよ.

格子点問題の考え方

格子点

⇒ \(x\) or \(y\) 軸に平行な直線ごとにカウントし,総和(Σ)を考える

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解答・解説

( ⅰ ) \(x=2k\) ( \(0≦k≦n\) ) 上には

\((2k,2k^2)\) , \((2k,2k^2+1)\) , \((2k,2k^2+2)\) , \(\cdots\) , \((2k,2n^2)\) の

\(2n^2-2k^2+1\) 個の格子点がある.

( ⅱ ) \(x=2k-1\) ( \(0≦k≦n\) ) 上には

\(x=2k-1\) を \(y=\displaystyle\frac{1}{2}x^2\) に代入すると

\(y=\displaystyle\frac{1}{2}(2k-1)^2=2k^2-2k+\displaystyle\frac{1}{2}\)

これは格子点ではないため,領域に含まれる格子点は \(y\) 軸方向に \(\displaystyle\frac{1}{2}\) だけ上にある,\((2k-1,2k^2-2k+1)\) が格子点となる!

\((2k-1,2k^2-2k+1)\) , \((2k-1,2k^2-2k+2)\) , \(\cdots\) , \((2k,2n^2)\) の

\(2n^2-(2k^2-2k+1)+1=2n^2-2k^2+2k\) 個の格子点がある.

よって求める格子点の個数は

\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}{(2n^2-2k^2+1)}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{(2n^2-2k^2+2k)}\)

\(=2n^2+1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{(2n^2-2k^2+1)}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{(2n^2-2k^2+2k)}\)

\(=2n^2+1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{(-4k^2+2k+4n^2+1)}\)

\(=2n^2+1-\displaystyle\frac{4}{6}n(n+1)(2n+1)+\displaystyle\frac{2}{2}n(n+1)+n(4n^2+1)\)

\(=\displaystyle\frac{1}{3}(8n^3+3n^2+4n+3)\)

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