【2024京都大学・文系・第４問】ｎ進法と桁数。

【2024京都大学・文系・第４問】

ある自然数を八進法，九進法，十進法でそれぞれ表したとき，桁数がすべて同じになった．このような自然数で最大のものを求めよ．ただし，必要なら次を用いてもよい．

\(0.3010<\log_{10}{2}<0.3011\)，\(0.4771<\log_{10}{3}<0.4772\)

解答・解説

自然数 \(m\) ，\(n\) に対して

\(n\) を八進法，九進法，十進法でそれぞれ表すと \(m\) 桁であるとする．

\(8^{m-1}≦n<8^m\) ・・・①

\(9^{m-1}≦n<9^m\) ・・・②

\(10^{m-1}≦n<10^m\) ・・・③　を満たす．

\(8^{m-1}<9^{m-1}<10^{m-1}\) ，\(8^{m}<9^{m}<10^{m}\) より

①～③を満たす \(n\) が存在するためには

\(10^{m-1}<8^m\) ・・・④

常用対数をとると

\(m-1<\log_{10}{8^m}=3m\log_{10}{2}\)

\((1-3\log_{10}{2})m<1\) ・・・⑤

ここで \(0.3010<\log_{10}{2}<0.3011\) より

\(0.0967<1-3\log_{10}{2}<0.097\) であるから

\(10.30\cdots<\displaystyle\frac{1}{1-3\log_{10}{2}}<10.34\cdots\)

⑤より \(m≦10\) であることが必要．

\(m=10\) のとき，\(10^9\) と \(8^{10}\) の大小について確認すると

\(\log_{10}{10^9}=9\) ， \(0.9030<\log_{10}{8^{10}}=30\log_{10}{2}<0.9033\) より

\(10^9<8^{10}\) (④)を満たし，\(10^9\) と \(8^{10}\) はともに整数より

\(10^9≦n<8^{10}\) を満たす自然数 \(n\) が存在．

したがって求める最大の自然数 \(n\) は，\(8^{10}-1\)