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【2015東京大学】曲線の通過領域|パラメータ(媒介変数)aの存在条件・2次方程式の実数解の存在条件

数学(大学入試問題)

【2015東京大学】

正の実数 \(a\) に対して,座標平面上で次の放物線を考える.

\(C :\)   \(y=ax^2+\displaystyle\frac{1-4a^2}{4a}\)

\(a\) が正の実数全体を動くとき,\(C\) の通過する領域を図示せよ.

通過領域について

通過領域の問題は入試頻出です!

今までに経験したことがない人は,「【頻出】通過領域・逆像法(逆手流)《考え方》」をまず確認しましょう!

【頻出】通過領域・逆像法(逆手流)《考え方》
大学入試で重要かつ頻出分野。数学Ⅱ(図形と方程式)の通過領域の解法(考え方・思考の仕方)について具体的に実験を通して解説。実数存在条件。1文字固定法。

基本的な通過領域の問題をしっかりとマスターした上で東大の問題にチャレンジしましょう!

方針・考え方

\(y=ax^2+\displaystyle\frac{1-4a^2}{4a}\) を \(a\) の \(2\) 次方程式と考える

\(4(x^2-1)a^2-4ya+1=0\) ・・・①

①の \(a\) の 方程式が正の実数解を少なくとも \(1\) つもてばよい

ここで,\(f(a)=4(x^2-1)a^2-4ya+1\) は

  • \(x^2-1<0\) のとき上に凸の放物線
  • \(x^2-1=0\) のとき直線
  • \(x^2-1>0\) のとき下に凸の放物線

であるから,それぞれで場合分けをして考える.

また,\(f(0)=1>0\) ( \(y\) 切片が正 ) であることに注目しましょう!

解答・解説

\(y=ax^2+\displaystyle\frac{1-4a^2}{4a}\) より

\(4(x^2-1)a^2-4ya+1=0\) ・・・①

①を \(a\) の 方程式と考えて,正の範囲に少なくとも \(1\) つの実数解をもつ条件を考えればよい.

ここで,\(f(a)=4(x^2-1)a^2-4ya+1\) とおく.

\(f(0)=1>0\) であることに注意して以下考える.

 

( ⅰ ) \(x^2-1<0\) \(\iff\) \(-1<x<1\) のとき

\(f(a)=4(x^2-1)a^2-4ya+1\) は上に凸の放物線で,

\(f(0)=1>0\) であるから,①は \(y\) の値によらず \(a\) が正の範囲において実数解をもつ.

 

( ⅱ ) \(x^2-1=0\) \(\iff\) \(x=\pm1\) のとき

\(f(a)=-4ya+1\) は直線で,\(f(0)=1>0\) であるから

傾き \(-4y<0\) となればよい.

よって,\(y>0\)

 

( ⅲ ) \(x^2-1>0\) \(\iff\) \(x<-1 , 1<x\) のとき

\(f(a)=4(x^2-1)a^2-4ya+1\) は下に凸の放物線で,\(f(0)=1>0\) でるから,

軸 :\(a=\displaystyle\frac{4y}{2\cdot4(x^2-1)}>0\) かつ

\(f(a)=0\) の判別式 \(D\) が \(D≧0\) を満たせばよい.

2次方程式が正の範囲に解をもつ条件の考え方については,

解の配置(分離)の問題を確認してください!

【頻出】2次関数の解の配置(分離):1より大きい異なる2つの解、異符号の解など2パターン完全マスター

軸 :\(a=\displaystyle\frac{4y}{2\cdot4(x^2-1)}>0\) より

\(x^2-1>0\) であるから \(y>0\)

また,\(\displaystyle\frac{D}{4}=4y^2-4(x^2-1)≧0\)

よって,\(x^2-y^2≦1\)

( ⅰ )〜( ⅲ )より

ただし境界線は実線部分を含み,点線部分は含まない.

コメント

  1. あああ より:

    二次方程式の解の公式と形状が似てるから、僕だったらそっち使ってみるなって思った。
    それで簡単に解けるかは知らん。

    • マス学ぶ より:

      コメントありがとうございます。
      様々な解法が考えられそうですね。
      ぜひ良い解法がありましたら、ご指導いただけると大変助かります。

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