スポンサーリンク

【整数問題(範囲による絞り込み)】東京大学1980,2006過去問

数学(大学入試問題)

【問題1】1980 東京大学

\(n , a , b , c , d\) は 0 または正の整数であって、

\(a^2+b^2+c^2+d^2=n^2-6\)

\(a+b+c+d=n\)

\(a≧b≧c≧d\)

を満たすものとする.このような数の組 \(( n , a , b , c , d )\) をすべて求めよ.

【問題2】2006 東京大学

\(n\) を正の整数とする.実数 \(x , y , z\) に対する方程式

\(x^n+y^n+z^n=xyz\) ・・・①

を考える.

(1) \(n=1\) のとき、①を満たす正の整数の組 \(( x , y , z )\) で、\(x≦y≦z\) となるものをすべて求めよ.

(2) \(n=3\) のとき、①を満たす正の整数の組 \(( x , y , z )\) は存在しないことを示せ.

整数問題のPoint

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

  1. 積の形に変形
  2. 条件から範囲を絞る
  3. 倍数や余りに注目

整数問題の多くが、上の1から3のいずれかで処理できます。

この3つのPointは絶対に頭の中に叩き込んでください!

【問題1】考え方・思考の仕方・解答

\(a^2+b^2+c^2+d^2=n^2-6\) ・・・①

\(a+b+c+d=n\) ・・・②

\(a≧b≧c≧d\) ・・・③ とおく.

 

《Step1》①と②の式→②を2乗

②を2乗すると

\((a+b+c+d)^2= a^2+b^2+c^2+d^2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)=n^2\) より

①を代入して

\( n^2-6+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)=n^2\)

\( ab+ac+ad+bc+bd+cd=3\) ・・・④

 

《Step2》整数問題のPointの2つ目である「範囲を絞る」を考える

③、④より(\(d\) に注目して範囲を絞る)

\( ab+ac+ad+bc+bd+cd≧d\cdot d+ d\cdot d + d\cdot d + d\cdot d + d\cdot d + d\cdot d =6d^2\)

よって

\(3≧6d^2\)

これを満たす整数 \(d\) は \(d=0\) のみ

 

《Step3》《Step2》同様に「範囲を絞る」をもう一度

\(d=0\) のとき、③、④に代入すると

\(a≧b≧c≧0\) 、\( ab+ac+bc=3\) ・・・⑤

\(c\) に注目して範囲を絞ると

\( 3=ab+ac+bc≧3c^2\) より

\(c^2≦1\)

よって \(c=0 , 1\)

 

(ⅰ)  \(c=0 \) のとき

⑤より、\( ab=3\)

\(a≧b≧0\) より\( a=3 , b=1\)

したがって、 \(( n , a , b , c , d )=( 4 , 3 , 1 , 0 , 0 )\)

 

(ⅱ)  \(c=1 \) のとき

⑤より、\( ab+a+b=3\)

整数問題のPointの1つ目の「積の形」だね!

不安な人は「【整数問題】整数方程式(積の形・範囲の絞り込み・解と係数の関係)」を確認しましょう!

\( (a+1)(b+1) = 4\)

\(a≧b≧1\) より \(a+1≧b+1≧2\)

\(( a+1 , b+1 )=( 2 , 2 )\)

\(( a , b )=( 1 , 1 )\)

したがって、 \(( n , a , b , c , d )=( 3 , 1 , 1 , 1 , 0 )\)

 

以上より、

\(( n , a , b , c , d )=( 4 , 3 , 1 , 0 , 0 ) , ( 3 , 1 , 1 , 1 , 0 )\)

【問題2】考え方・思考の仕方・解答

【問題2】2006 東京大学

\(n\) を正の整数とする.実数 \(x , y , z\) に対する方程式

\(x^n+y^n+z^n=xyz\) ・・・①

を考える.

(1) \(n=1\) のとき、①を満たす正の整数の組 \(( x , y , z )\) で、\(x≦y≦z\) となるものをすべて求めよ.

(2) \(n=3\) のとき、①を満たす正の整数の組 \(( x , y , z )\) は存在しないことを示せ.

整数問題のPointの2つ目の「範囲で絞る」を考える

(1) \(n=1\) のとき、①は

\(x+y+z=xyz\) ・・・①´

①´と \(x≦y≦z\) より

\(x+y+x≦3z\) なので

\(xyz≦3z\)

\(z\) は正の整数なので割ると、

\(xy≦3\)

つまり \(xy=1 , 2 , 3\)

 

\(x≦y≦z\) に注意しながら

(ⅰ) \(xy=1\) のとき

\(( x , y )=( 1 , 1 )\)

このとき、①´を満たす \(z\) は存在しないため不適

 

(ⅱ) \(xy=2\) のとき

\(( x , y )=( 1 , 2 )\)

このとき、①´を満たす \(z=3\)

 

(ⅰ) \(xy=3\) のとき

\(( x , y )=( 1 , 3 )\)

このとき、①´に代入すると \(z=2\) となり、これは\(x≦y≦z\) に反するため不適

以上より、 \(( x , y , z )=( 1 , 2 , 3 )\)

 

(2)

\(n=3\) のとき、

\(x^3+y^3+z^3=xyz\)

・対称式(どの文字を入れ替えても同じ形の式になる)

→ \(x≦y≦z\) として考える

→整数問題のPointの2つ目の「範囲で絞る」を考えことができる

\(x≦y≦z\) のとき

\(xyz≦z^3\) より

\(x^3+y^3+z^3≦z^3\)

つまり

\(x^3+y^3≦0\) ・・・②

\(x>0 , y>0\) より、②を満たす \(x , y\) は存在しない.

\(x , y , z\) の大小関係が異なるときも同様に考えることができるため、以上より題意は示された.

【別解】相加平均・相乗平均の関係の利用

相加平均・相加平均の関係

・\( a , b , c ≧0\) のとき,

\(\displaystyle\frac{a+b+c}{3} \text{≧} \sqrt[3]{abc}\)

が成立.

等号成立条件は,\(a=b=c\) のとき.

背理法で考える.

\(x^3+y^3+z^3=xyz\) を満たす正の実数 \(x , y , z\) が存在すると仮定

相加平均・相乗平均の関係から、

\(\displaystyle\frac{x^3+y^3+z^3}{3} \text{≧} \sqrt[3]{x^3y^3z^3}=xyz\)

よって

\(\displaystyle\frac{xyz}{3} \text{≧} xyz\)

\(\displaystyle\frac{2}{3}xyz\text{≦}0\)

\(x , y , z\) は正の実数のため、矛盾.

したがって、\(x^3+y^3+z^3=xyz\) を満たす正の実数 \(x , y , z\) は存在しない

最後に

いかがだったでしょうか?

整数問題の多くは、「積の形」、「範囲を絞る」、「倍数や余りに注目」のいずれかで処理できる問題が非常に多いです。

その中でも今回は、「範囲を絞る」に注目して、東京大学の問題を用いて扱ってみました。

整数問題はセンスが必要??と勘違いしている人が多いですが、ほとんどの問題がパターンものです!

しっかりとPointをおさえて、正しく考えられるようにトレーニングをしていきましょう!

他のページでは整数問題に特化して様々な問題の考え方・思考の仕方を紹介しています。(他には学校の授業ではなかなか扱わないが入試で頻出テーマ)

ぜひ、参考にしてください!

また、○○のテーマ、分野において考え方・思考の仕方を扱ってほしいと言う希望がありましたら、コメント、問い合わせ、Twitterなどからお気軽にご連絡ください。

コメント

タイトルとURLをコピーしました