【京大対策・整数問題演習】n^3-19n+33が素数となるnをすべて求めよ(2021明治大学・農)

【2021明治大学・農】

数列 \({ a_{n} }\) を \(a_{n}=n^3-19n+33\) と定める．ただし，\(n\) は正の整数とする．

このとき，\(a_{n}\) が素数となる \(n\) をすべて求めよ．

2018京都大学の類題

【2018京都大学(文理共通)】

\(n^3-7n+9\) が素数となるような整数 \(n\) をすべて求めよ．

類題というよりも、パクリ？？と疑いたくなるようなほぼほぼ同じ問題です。

方針が見えない・経験したことがない方は、

を確認してください！どのように問題を考えていくのか、丁寧に解説しています。

また、以下では解答に合同式を用います。

合同式は整数問題を扱う上で必須アイテムになりますので、しっかりと使えるようにしておきましょう！

以下すべて、mod 3 として考える．

( ⅰ )　\(n≡0\) のとき

\(a_{n}=n^3-19n+33≡0-0+33≡0\)

( ⅱ )　\(n≡1\) のとき

\(a_{n}=n^3-19n+33≡1-19+33=15≡0\)

( ⅲ )　\(n≡2\) のとき

\(a_{n}=n^3-19n+33≡8-38+33=3≡0\)

( ⅰ ) 〜 ( ⅲ ) より

すべての自然数 \(n\) において、\(a_{n}\) は \(3\) の倍数となる．

『 \(a_{n}\) が素数』かつ『 \(a_{n}\) が \(3\) の倍数』となるのは、

\(a_{n}=3\) のときのみ

よって、\(n^3-19n+33=3\)

\(\iff\) \(n^3-19n+30=0\)

\(\iff\) \((n-2)(n-3)(n+5)=0\)

\(n\) は正の整数であるから、

\(n = 2 , 3\)