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【京大対策・整数問題演習】n^3-19n+33が素数となるnをすべて求めよ(2021明治大学・農)

数学(大学入試問題)

【2021明治大学・農】

数列 \({ a_{n} }\) を \(a_{n}=n^3-19n+33\) と定める.ただし,\(n\) は正の整数とする.

このとき,\(a_{n}\) が素数となる \(n\) をすべて求めよ.

2018京都大学の類題

【2018京都大学(文理共通)】

\(n^3-7n+9\) が素数となるような整数 \(n\) をすべて求めよ.

類題というよりも、パクリ??と疑いたくなるようなほぼほぼ同じ問題です。

方針が見えない・経験したことがない方は、

2018京都大学|n^3-7n+9が素数となるn(文系第3問、理系第2問)

2018京都大学|n^3-7n+9が素数となるn(文系第3問、理系第2問)
素数に関する有名頻出問題。数学の2次試験で差がつきやすい整数分野の問題について、ただ答えが出せるだけの勉強ではなく、どのように考えるのか、思考過程を丁寧に解説。同じ問題は出ませんが、同じ形式の問題は出題されます。しっかりと考え方を学び、2次数学でしっかり得点源に!

を確認してください!どのように問題を考えていくのか、丁寧に解説しています。

 

また、以下では解答に合同式を用います。

合同式は整数問題を扱う上で必須アイテムになりますので、しっかりと使えるようにしておきましょう!

合同式とは?合同式の基本性質を理解し、使えるようにする

解答

以下すべて、mod 3 として考える.

( ⅰ ) \(n≡0\) のとき

\(a_{n}=n^3-19n+33≡0-0+33≡0\)

( ⅱ ) \(n≡1\) のとき

\(a_{n}=n^3-19n+33≡1-19+33=15≡0\)

( ⅲ ) \(n≡2\) のとき

\(a_{n}=n^3-19n+33≡8-38+33=3≡0\)

( ⅰ ) 〜 ( ⅲ ) より

すべての自然数 \(n\) において、\(a_{n}\) は \(3\) の倍数となる.

『 \(a_{n}\) が素数』かつ『 \(a_{n}\) が \(3\) の倍数』となるのは、

\(a_{n}=3\) のときのみ

よって、\(n^3-19n+33=3\)

\(\iff\) \(n^3-19n+30=0\)

\(\iff\) \((n-2)(n-3)(n+5)=0\)

\(n\) は正の整数であるから、

\(n = 2 , 3\)

 

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