【2024東海大学・医学部・第２問】
解答・解説
(１)平均値、分散
\(f(x)=\displaystyle\frac{1}{3}\left\{(12x+9)+(-6x+15)+(-3x+9)\right\}=x+11\) より
\(f(0)=11\) ・・・《ア》
\(g(x)=\displaystyle\frac{1}{3}\left\{(12x+9-f(x))^2+(-6x+15-f(x))^2+(-3x+9-f(x))^2\right\}\)
\(=62x^2-28x+8\) より
\(g(1)=42\) ・・・《イ》
(２)相関係数
表１において金融商品Aのデータを \(a\)，金融商品Bのデータを \(b\) とすると
\(\overline{a}=\displaystyle\frac{1}{3}(9+15+9)=11\)
\(\overline{b}=\displaystyle\frac{1}{3}(21+9+6)=12\)
\(s^2_{a}=\displaystyle\frac{1}{3}\left\{(9-11)^2+(15-11)^2+(9-11)^2\right\}=8\)
\(s^2_{b}=\displaystyle\frac{1}{3}\left\{(21-12)^2+(9-12)^2+(6-12)^2\right\}=42\)
\(s_{ab}=\displaystyle\frac{1}{3}\left\{(9-11)(21-12)+(15-11)(9-12)+(9-11)(6-12)\right\}=-6\)
したがって相関係数は \(r=\displaystyle\frac{s_{ab}}{s_{a}s_{b}}=\displaystyle\frac{-6}{\sqrt{8}\sqrt{42}}=-\displaystyle\frac{\sqrt{14}}{21}\) ・・・《ウ》
(３)\(f(x)\) の最大値
(１)より \(f(x)=x+11\)
\(y=f(x)\) は単調増加なグラフであるから，\(0≦x≦1\) において
\(x=1\) のとき最大値：\(12\) ・・・《エオ》
(４)\(g(x)\) の最小値
(１)より \(g(x)=62x^2-28x+8\) なので
\(g(x)=62\left(x-\displaystyle\frac{7}{31}\right)^2+\displaystyle\frac{150}{31}\)
\(0≦x≦1\) において \(x=\displaystyle\frac{7}{31}\) ・・・《カ》のとき最小値：\(\displaystyle\frac{150}{31}\)
(５)
\(a≧\displaystyle\frac{1}{10}\) で
\(h(x)=\left\{f(x)\right\}^2-ag(x)=(x+11)^2-a(62x^2-28x+8)\)
これを整理すると
\(h(x)=( -62a+1)x^2+(28a+22)x-8a+121\)
\(a≧\displaystyle\frac{1}{10}\) より \(-62a+1<0\) なので \(y=h(x)\) は上に凸の放物線となるため
\(y=h(x)\) が \(x=1\) で最大値となるのは
\(y=h(x)\) の軸 \(x=-\displaystyle\frac{28a+22}{2(-62a+1)}=\displaystyle\frac{14a+11}{62a-1}≧1\) を満たせばよい
\(a≧\displaystyle\frac{1}{10}\) より \(62a-1>0\) なので
\(14a+11≧62a-1\) \(\iff\) \(a≦\displaystyle\frac{1}{4}\)
したがって，\(\displaystyle\frac{1}{10}≦a≦\displaystyle\frac{1}{4}\) ・・・《キ》
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