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【2007京都大学】空間上の2直線上の点の距離の最小値|媒介変数表示、2変数関数(予選決勝法)の利用

数学(大学入試問題)

【2007京都大学】

座標空間で点 \( ( 3 , 4 , 0 )\) を通り,ベクトル \(\overrightarrow{a}=( 1 , 1 , 1 )\) に平行な直線を \(l\) , 点 \( ( 2 , -1 , 0 )\) を通り,ベクトル \(\overrightarrow{b}=( 1 , -2 , 0 )\) に平行な直線を \(m\) とする.点 \(P\) は直線を \(l\) 上 , 点 \(Q\) 直線を \(m\) 上をそれぞれ勝手に動くとき,線分 \(PQ\) の長さの最小値を求めよ.

空間の直線の方程式(媒介変数表示)

その他,空間の平面の方程式や点と面の距離の公式など,難関大学では頻出テーマ(※特に京都大学では頻出)になります。演習問題や公式のまとめは「平面の方程式・点と平面の距離・空間上の直線の方程式・外積の公式まとめ・例題演習」を参考にしてください。

平面の方程式・点と平面の距離・空間上の直線の方程式・外積の公式まとめ・例題演習
平面の方程式の公式の導き方と使い方。外積を利用した法線ベクトルを利用した解法も紹介。空間ベクトルを利用して、平面の方程式、直線の方程式、点と平面の距離など差がつく分野について公式、使い方の練習。京都大学をはじめ、難関大学では頻出のテーマ。2次試験対策。数学B空間ベクトル

【解答】媒介変数表示

実数 \(s\) , \(t\) を用いて,

\(\overrightarrow{OP}=( 3 , 4 , 0 )+s\overrightarrow{a}=(s+3,s+4,s)\)

\(\overrightarrow{OQ}=( 2 , -1 , 0 )+t\overrightarrow{b}=(t+2,-2t-1,0)\)

とおくことができる.

このように, \(s\) , \(t\) を用いて点 \(P\) や \(Q\) を表すことを,媒介変数表示と言います。

\(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}=(-s+t-1,-s-2t-5,-s)\) ・・・①

( ⅰ ) 予選決勝法(1文字固定)

①より,

\(\left|\overrightarrow{PQ}\right|^2=(-s+t-1)^2+(-s-2t-5)^2+(-s)^2\)

\(=3s^2+2st+5t^2+12s+18t+26\)

\(s\) , \(t\) の \(2\) 変数関数の式の最小値の問題になった!

予選決勝法(\(1\) 文字固定)が使えるパターンです!

※\(2\) 変数関数の最大・最小値の求め方については,「2変数関数の最大値・最小値【1文字固定法(予選決勝法)】」で詳しく説明をしています。参考にしてください。

\(s\) について整理すると,

\(\left|\overrightarrow{PQ}\right|^2=3s^2+2(t+6)s+5t^2+18t+26\)

\(=3\left(s+\displaystyle\frac{t+6}{3}\right)^2+\displaystyle\frac{14}{3}t^2+14t+14\)

であるから,\(s=-\displaystyle\frac{t+6}{3}\) のとき

\(\displaystyle\frac{14}{3}t^2+14t+14=\displaystyle\frac{14}{3}\left(t+\displaystyle\frac{3}{2}\right)^2+\displaystyle\frac{7}{2}\) であるから,

\(s=-\displaystyle\frac{t+6}{3}\) かつ \(t=-\displaystyle\frac{3}{2}\) で,\(\left|\overrightarrow{PQ}\right|^2\) は最小値:\(\displaystyle\frac{7}{2}\)

したがって,\(s=t=-\displaystyle\frac{3}{2}\) のとき,

\(PQ\) の最小値は\(\sqrt{\displaystyle\frac{7}{2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{14}}{2}\)

( ⅱ ) ベクトルの内積の利用

上の【解答】媒介変数表示の

\(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}=(-s+t-1,-s-2t-5,-s)\) ・・・①

までは同様です.それ以降の別解を紹介します。

\(PQ\) の長さが最小となるのは,\(PQ \perp l\) かつ \(PQ \perp m\) のときであるから,

・\(PQ \perp l\) のとき

\(\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{a}=0\) より

\(\overrightarrow{PQ}=(-s+t-1,-s-2t-5,-s)\) , \(\overrightarrow{a}=( 1 , 1 , 1 )\) であるから,

\(\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{a}=(-s+t-1)+(-s-2t-5)+(-s)=0\)

よって, \(3s+t+6=0\) ・・・②

・\(PQ \perp m\) のとき

\(\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{b}=0\) より

\(\overrightarrow{PQ}=(-s+t-1,-s-2t-5,-s)\) , \(\overrightarrow{b}=( 1 , -2 , 0 )\) であるから,

\(\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{b}=(-s+t-1)-2(-s-2t-5)=0\)

よって, \(s+5t+9=0\) ・・・③

②,③より,\(s=t=-\displaystyle\frac{3}{2}\)

このとき,\(\overrightarrow{PQ}=\left(-1,-\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{3}{2}\right)\) より

線分 \(PQ\) の最小値は,\(\sqrt{(-1)^2+\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^2}=\displaystyle\frac{\sqrt{14}}{2}\)

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