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【2021聖マリアンナ医科大学】データの分析と整数問題|分散の最大・最小

数学(大学入試問題)

【2021聖マリアンナ医科大学】

\(10\) 人の生徒が受けたテストの得点分布を以下に示す.

テストの得点は \(10\) 点刻みで平均点は \(75\) 点であった.

\(a\),\(b\),\(c\),\(d\) は \(0\) 以上の整数で,同じ数であってもよい.

(1) \(a=2\) のとき,\(d\) の値となりうる整数をすべて求めよ.

(2) 分散が最大となる \(( a , b , c , d )\) を求めよ.

(3) 分散が最小となる \(( a , b , c , d )\) を求めよ.

データの分析:基本公式の確認・まとめ

平均値

変量 \(x\) についてのデータが \(n\) 個の値 \(x_{1}\) ,  \(x_{2}\) , \(\cdots\) , \(x_{n}\) であるとき,それらの総和を \(n\) で割ったものを,データの 平均値 といい, \(\overline{x}\) で表す.

\(\overline{x}=\displaystyle\frac{1}{n}(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n})\)

中央値,最頻値

データを値の大きさの順に並べたとき,中央の位置にくる値を,データの中央値(メジアン)という.

《例①》データが奇数個の場合

「データ:10 , 12 , 15 , 17 , 18 」の中央値は,「 15 」となる.

《例②》データが偶数個の場合

「データ:10 , 12 , 15 , 17 , 18 , 20 」の中央値は,15 と 17 の平均値をとった「 16 」となる.

 

データにおいて,最も個数の多い値を,そのデータの最頻値(モード)という.

分散と標準偏差

変量 \(x\) についてのデータが \(n\) 個の値 \(x_{1}\) ,  \(x_{2}\) , \(\cdots\) , \(x_{n}\) であるする.

また,\(n\) 個の値 \(x_{1}\) ,  \(x_{2}\) , \(\cdots\) , \(x_{n}\) の平均値を \(\overline{x}\) とするとき,

\(s^2=\displaystyle\frac{1}{n}\left\{\left(x_{1}-\overline{x}\right)^2+\left(x_{2}-\overline{x}\right)^2+\cdots+\left(x_{n}-\overline{x}\right)^2\right\}\)

この値 \(s^2\) を分散という.また,\(\sqrt{s^2}\) を \(s\) で表し,標準偏差という.

( \(x\) のデータの分散 ) = (  \(x^2\) のデータの平均値 ) ー ( \(x\) のデータの平均値 )\(^2\)

と式変形することもできる.(証明は省略)

共分散と相関係数

\(2\) つの変量 \(x\) , \(y\) のデータが \(n\) 個の \(x\) , \(y\) の値の組として

\(( x_{1} , y_{1} )\) , \(( x_{2} , y_{2} )\) , \(\cdots\) ,  \(( x_{n} , y_{n} )\) のとき,

\(s_{xy}=\displaystyle\frac{1}{n}\left\{\left(x_{1}-\overline{x}\right)\left(y_{1}-\overline{y}\right)+\left(x_{2}-\overline{x}\right)\left(y_{2}-\overline{y}\right)+\cdots+\left(x_{n}-\overline{x}\right)\left(y_{n}-\overline{y}\right)\right\}\)
この値 \(s_{xy}\) を共分散という.
さらに, \(x\) の標準偏差を \(s_{x}\) , \(y\) の標準偏差を \(s_{y}\) とするとき,
\(r=\displaystyle\frac{s_{xy}}{s_{x}s_{y}}\)
この値 \(r\) を相関係数という.

解説・解答

【2021聖マリアンナ医科大学】

\(10\) 人の生徒が受けたテストの得点分布を以下に示す.

テストの得点は \(10\) 点刻みで平均点は \(75\) 点であった.

\(a\),\(b\),\(c\),\(d\) は \(0\) 以上の整数で,同じ数であってもよい.

(1) \(a=2\) のとき,\(d\) の値となりうる整数をすべて求めよ.

(2) 分散が最大となる \(( a , b , c , d )\) を求めよ.

(3) 分散が最小となる \(( a , b , c , d )\) を求めよ.

テストを \(10\) 人の生徒が受けたので,

\(1+1+a+b+c+d+a=10\) \(\iff\) \(2a+b+c+d=8\)・・・①

また平均点は \(75\) 点であるから,

\(40+50+60a+70b+80c+90d+100a=75\times 10\)

\(\iff\) \(16a+7b+8c+9d=66\)・・・②

②ー①\(\times 7\) より

\(2a+c+2d=10\)・・・③

①ー③より

\(b-d=-2\) \(\iff\) \(b=d-2\)・・・④

\(b\) は \(0\) 以上の整数なので,④より \(d≧2\)・・・⑤

(1) \(a=2\) のとき

③より \(c+2d=6\) \(\iff\) \(c=2(3-d)\)

\(c\) は \(0\) 以上の整数なので,\(d≦3\)
よって⑤より,\(d = 2 , 3\) 
(2) , (3)
分散を \(s^2\) とおくと
\(s^2=\displaystyle\frac{1}{10}\left\{(40-75)^2+(50-75)^2+a(60-75)^2+b(70-75)^2\\+c(80-75)^2+d(90-75)^2+a(100-75)^2\right\}\)

この式をただただ計算するのは大変!工夫をしましょう!

本問では,最大値・最小値となる \(( a , b , c , d )\) を求めることが目的ですから,不要な計算は省略していきましょう!

\(10s^2=(15^2+25^2)a+5^2b+5^2c+15^2d+\)(定数) と表せ,

\(10s^2=5^2(34a+b+c+9d)+\)(定数)
①より \(b+c=-2a-d+8\) であるから
\(10s^2=5^2(32a+8d)+\)(定数) ・・・⑥
ここで,\(a\),\(b\),\(c\),\(d\) は \(0\) 以上の整数かつ,
\(2a+b+c+d=8\)・・・①,\(d≧2\)・・・⑤ より
\(a = 0 , 1 , 2 , 3\)
分散が最大 \(\iff\) ⑥が最大となればよいので,\(a=3\) となればよい
このとき①より,\(b+c+d=2\) かつ \(d≧2\)・・・⑤ であり,
\(b\),\(c\) は \(0\) 以上の整数であることに注意すると,
求める \(( a , b , c , d ) = ( 3 , 0 , 0 , 2 )\)
また,分散が最小となるとき,\(a=0\) , \(d=2\) となればよい
このとき ④より \(b=0\) , ①より \(c=6\)
したがって, \(( a , b , c , d ) = ( 0 , 0 , 6 , 2 )\)

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