２変数関数の最大値・最小値
【問題】
\(0≦x≦1\)、\(0≦y≦1\)の範囲で、
\((x-2y+1)^2+(x+y-1)^2\) の最大値と最小値を求めよ．
2変数関数の考え方について
２変数関数のMax・min
👉１文字固定（予選決勝法）
２変数関数の最大・最小値に関する基本的な考え方に、予選決勝法と言うものがあります。
これは受験数学では有名解法であり、様々な分野で出題されます。
今まで一度も２変数関数について扱ったことがない人は、
を一度ご覧ください。基本的な考え方を例題を交えて説明しています。
\((x-2y+1)^2+(x+y-1)^2\) の最小値
\((x-2y+1)^2+(x+y-1)^2≧0\) より
\(\begin{cases}x-2y+1=0\\x+y-1=0\end{cases}\)
よって、\(( x , y )=\left(\displaystyle\frac{1}{3} , \displaystyle\frac{2}{3} \right)\) のとき最小値：\(0\)
\((x-2y+1)^2+(x+y-1)^2\) の最大値
\(f( x , y )=(x-2y+1)^2+(x+y-1)^2\) とおく．
\(f( x , y )=2x^2-2xy+5y^2-6y+2\)
\(y\) を固定して考える（ \(x\) の \(2\) 次関数だと思って計算する）
\(f( x , y )=2\left(x-\displaystyle\frac{y}{2}\right)^2+\displaystyle\frac{9}{2}y^2-6y+2\)
\(0≦y≦1\) より、軸 \(x=\displaystyle\frac{y}{2}\) は \(0≦\displaystyle\frac{y}{2}≦\displaystyle\frac{1}{2}\) であり、\(0≦x≦1\) より
\(x=1\) のとき最大値：\(f( 1 , y )=5y^2-8y+4\)
\(y\) を固定を解除！
\(f( 1 , y )=5y^2-8y+4\) より
\(f( 1 , y )=5\left(y-\displaystyle\frac{4}{5}\right)^2+\displaystyle\frac{4}{5}\)
\(0≦y≦1\) より、
\(y=0\) のとき最小値：\(f( 1 , 0 )=4\)
したがって、\(( x , y )=( 1 , 0 )\) のとき最大値：\(4\)
【別解】平方の和の利用
【問題】
\(0≦x≦1\)、\(0≦y≦1\)の範囲で、
\((x-2y+1)^2+(x+y-1)^2\) の最大値と最小値を求めよ．
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