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【対称性の利用】空間ベクトル(共面条件・ 垂直条件)|2010神戸大学

数学(大学入試問題)

【2010神戸大学・文(一部)】

空間内に \(4\) 点 \(O\) , \(A\) , \(B\) , \(C\) があり,

\(OA=3\) , \(OB=OC=4\) , \(\angle BOC=\angle COA=\angle AOB=\displaystyle\frac{\pi}{3}\)

であるとする.\(3\) 点 \(A\) , \(B\) , \(C\) を通る平面に垂線 \(OH\) をおろす.

\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}\) , \(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}\) , \(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{OC}\) とし,

\(\overrightarrow{OH}=r\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}\)

と表すとき, \(r\) , \(s\) , \(t\) を求めよ.

考え方・ポイント

Point:対称性の利用

まず初めに,問題の条件(図)を見て意識してほしいことが,図形の『対称性』についてである.

\(OB=OC=4\) , \(\angle AOB=\angle AOC=\displaystyle\frac{\pi}{3}\) , \(OA\) は共通であるから,

\(\triangle OAB≡\triangle OAC\) である.

このことから,線分 \(BC\) の中点を \(M\) としたとき,

四面体 \(OABC\) は,平面 \(OAM\) に関して対称な立体であることがわかる.

対象性から,\(s=t\) であることが分かり,文字数を\(1\) つ減らすことができた!

どうしてこんなこととに気がつけるの??

ただの偶然??

気がつけるかどうかではなく,疑ってかかるように意識しましょう!

作問者としては,適当な数字で問題を作っているわけではありません!意図的な値に設定していることが多く対称性のある図形の問題は多くは出題されています!

文字数を\(1\) 文字でも減らせると後々の計算が楽になるから,最初に考える習慣を身につけます!

共面条件

共面条件とは,異なる \(4\) 点が同一平面上に並ぶときの条件

(※  \(4\) 点が同一直線状であるときは除く)

\(4\) 点 \(A\),\(B\),\(C\), \(P\) が同一平面上にあるとき

①  \(A\) を始点として考える( \(k\),\(l\)  は実数 )

\(\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}+l\overrightarrow{AC}\)

② \(O\) を始点として考える( \(s\),\(t\),\(u\)  は実数 )

\(\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}+u\overrightarrow{OC}\) かつ \(s+t+u=1\)

垂直条件

平面 \(\alpha\) 上の異なる \(2\) つのベクトル \(\overrightarrow{x}\) , \(\overrightarrow{y}\) ( ただし,\(\overrightarrow{x}\) , \(\overrightarrow{y}\) は零ベクトルでなく,互いに平行ではない ) に対して,

平面 \(\alpha\) \(\perp \overrightarrow{n}\)

\(\iff\) \(\overrightarrow{x} \perp \overrightarrow{n}\) かつ \(\overrightarrow{y} \perp \overrightarrow{n}\)

\(\iff\) \(\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{n}=0\) かつ \(\overrightarrow{y}\cdot\overrightarrow{n}=0\)

共面条件,垂直条件を用いた頻出な有名問題の演習は「【頻出】四面体の体積|空間ベクトル(共面条件・垂直条件)

解答

\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=3\cdot 4\cdot \cos \displaystyle\frac{\pi}{3}=6\) ,

\(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=4\cdot 4\cdot \cos \displaystyle\frac{\pi}{3}=8\) ,

\(\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a}=4\cdot 3\cdot \cos \displaystyle\frac{\pi}{3}=6\) .

 

\(OB=OC=4\) , \(\angle AOB=\angle AOC=\displaystyle\frac{\pi}{3}\) , \(OA\) は共通であるから,

\(\triangle OAB≡\triangle OAC\) である.

このことから,線分 \(BC\) の中点を \(M\) としたとき,

四面体 \(OABC\) は,平面 \(OAM\) に関して対称な立体であり,

対称性から \(s=t\) ・・・① を満たす.

①より

\(\overrightarrow{OH}=r\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+s\overrightarrow{c}\)

とおける.このとき,点 \(H\) は平面 \(ABC\) 上であるから

\(r+s+s=1\) \(\iff\) \(r+2s=1\) ・・・②

共面条件②の「係数の和が \(1\) 」になることを利用した

また \(OH \perp\) 平面 \(ABC\) より, \(\overrightarrow{OH} \perp \overrightarrow{AB}\)

つまり \(\overrightarrow{OH}\cdot \overrightarrow{AB}=0\)

よって,\((r\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+s\overrightarrow{c})(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})=0\)

これを計算してまとめると \(r=4s\) ・・・③

②,③より,\(r=\displaystyle\frac{2}{3}\) , \(s=t=\displaystyle\frac{1}{6}\)

したがって,\(\overrightarrow{OH}=\displaystyle\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\displaystyle\frac{1}{6}\overrightarrow{b}+\displaystyle\frac{1}{6}\overrightarrow{c}\)

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