3次方程式の解と係数の関係｜新潟大学・医

考え方

３次方程式の解と係数の関係

解答

$3$ 次方程式 $x^3+ax^2+(a^2-6)x+b=0$ ・・・（※）

の $3$ 解を、$\alpha$、$\beta$、$\gamma$ とすると、

$\displaystyle\frac{1}{\alpha}$、$\displaystyle\frac{1}{\beta}$、$\displaystyle\frac{1}{\gamma}$ も解であるから、解と係数の関係より

$\alpha+\beta+\gamma=\displaystyle\frac{1}{\alpha}+\displaystyle\frac{1}{\beta}+\displaystyle\frac{1}{\gamma}=-a$ ・・・ ①

$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\displaystyle\frac{1}{\alpha\beta}+\displaystyle\frac{1}{\beta\gamma}+\displaystyle\frac{1}{\gamma\alpha}=a^2-6$ ・・・ ②

$\alpha\beta\gamma=\displaystyle\frac{1}{\alpha\beta\gamma}=-b$ ・・・ ③

$b>0$ と③より、

$(\alpha\beta\gamma)^2=1$ かつ $\alpha\beta\gamma<0$

よって、$\alpha\beta\gamma=-1$ ・・・ ④

③、④より、$b=1$

①より、

$-a=\displaystyle\frac{1}{\alpha}+\displaystyle\frac{1}{\beta}+\displaystyle\frac{1}{\gamma}=\displaystyle\frac{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma}$

④より、

$-a=-(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)$

よって、$a=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha$ ・・・ ⑤

②と⑤より、

$a^2-6=a\iff(a+2)(a-3)=0$

よって、$a = -2 , 3$

(ア)　$a=-2$、$b=1$ のとき

(※) より $x^3-2x^2-2x+1=0$

$(x+1)(x^2-3x+1)=0$

$x=-1 , \displaystyle\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$

(イ)　$a=3$、$b=1$ のとき

(※) より $x^3+3x^2+3x+1=0$

$(x+1)^3=0$

よって(※)は $3$ 重解 $x=-1$ をもち、条件に反する．

したがって、

$a=-2$、$b=1$ であり、

方程式の解は $x=-1 , \displaystyle\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$