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3次方程式の解と係数の関係|新潟大学・医

数学(大学入試問題)

【問題】

\(a\)、\(b\) は実数の定数であり、\(b>0\) とする.

\(3\) 次方程式 \(x^3+ax^2+(a^2-6)x+b=0\)

が相異なる \(3\) つの解をもち、それぞれの逆数もこの方程式の解である.

\(a\)、\(b\) の値を求め、この方程式を解け.

考え方

3次方程式の解と係数の関係

\(3\) 次方程式 \(ax^3+bx^2+cx+d=0\)  (\(a≠0\))

の \(3\) 解を、\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\) とすると

\(\alpha+\beta+\gamma=-\displaystyle\frac{b}{a}\)

\(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\displaystyle\frac{c}{a}\)

\(\alpha\beta\gamma=-\displaystyle\frac{d}{a}\)

解答

\(3\) 次方程式 \(x^3+ax^2+(a^2-6)x+b=0\) ・・・(※)

の \(3\) 解を、\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\) とすると、

\(\displaystyle\frac{1}{\alpha}\)、\(\displaystyle\frac{1}{\beta}\)、\(\displaystyle\frac{1}{\gamma}\) も解であるから、解と係数の関係より

\(\alpha+\beta+\gamma=\displaystyle\frac{1}{\alpha}+\displaystyle\frac{1}{\beta}+\displaystyle\frac{1}{\gamma}=-a\) ・・・ ①

\(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\displaystyle\frac{1}{\alpha\beta}+\displaystyle\frac{1}{\beta\gamma}+\displaystyle\frac{1}{\gamma\alpha}=a^2-6\) ・・・ ②

\(\alpha\beta\gamma=\displaystyle\frac{1}{\alpha\beta\gamma}=-b\) ・・・ ③

 

\(b>0\) と③より、

\((\alpha\beta\gamma)^2=1\) かつ \(\alpha\beta\gamma<0\)

よって、\(\alpha\beta\gamma=-1\) ・・・ ④

③、④より、\(b=1\)

 

①より、

\(-a=\displaystyle\frac{1}{\alpha}+\displaystyle\frac{1}{\beta}+\displaystyle\frac{1}{\gamma}=\displaystyle\frac{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma}\)

④より、

\(-a=-(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\)

よって、\(a=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha\) ・・・ ⑤

 

②と⑤より、

\(a^2-6=a\iff(a+2)(a-3)=0\)

よって、\(a = -2 , 3 \)

 

(ア) \(a=-2\)、\(b=1\) のとき

(※) より \(x^3-2x^2-2x+1=0\)

\((x+1)(x^2-3x+1)=0\)

\(x=-1 , \displaystyle\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\)

 

(イ) \(a=3\)、\(b=1\) のとき

(※) より \(x^3+3x^2+3x+1=0\)

\((x+1)^3=0\)

よって(※)は \(3\) 重解 \(x=-1\) をもち、条件に反する.

 

したがって、

\(a=-2\)、\(b=1\) であり、

方程式の解は \(x=-1 , \displaystyle\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\)

 

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