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【2006京都大学・後期・第3問】n個のさいころの和がn+3になる確率

数学(大学入試問題)

【2006京都大学・後期・第3問】

さいころを \(n\) 個同時に投げるとき、

出た目の和が \(n+3\) になる確率を求めよ.

確率を苦手とする受験生は多く、差が付きやすい分野の1つです。

確率を苦手とする受験生のほとんどが、「公式に頼ろうとする」「いきなり解答を書きだそうとする」「解答を見て分かった気になった勉強をしている」ことが非常に多い!自分にこの点が当てはまったら要注意!

しっかりと考え方・方針の立て方を勉強し、答えを読んで分かった気になる勉強法から卒業しましょう!

考え方・方針の立て方

一般化された問題について

本問では、さいころを \(n\) 回投げます.このように \(n\) (文字)が登場して来たら、いきなり解答を作ろうとはせずに、小さい例で実験をしましょう!

そして解答の方針・答えのが予想できるまでひたすら実験を繰り返し、しっかりと方針がたってから解答を書き出すように!

この大問に \(30\) 分の時間が使えるとしたならば、\(20\) ~ \(25\) 分は実験に時間を使っても良いです!それぐらいしっかりと手を動かして、実験をしましょう!

一般化された問題 ⇒ 小さな例で実験 ⇒ 答えを予想

実験

・\(n=1\) のとき

\(1\) 個のさいころを振って出た目の和が \(4\) となればよい.

つまり \(4\) の目が出ればよいので、\(\displaystyle\frac{1}{6}\)

 

・\(n=2\) のとき

\(2\) 個のさいころを振って出た目の和が \(5\) となればよい.

\(( 1 , 4 )\)、\(( 2 , 3 )\) の組合せがあり、それぞれの順列を考えると、\(\displaystyle\frac{4}{6^2}=\displaystyle\frac{1}{9}\)

 

・\(n=3\) のとき

\(3\) 個のさいころを振って出た目の和が \(6\) となればよい.

\(( 1 , 1 , 4 )\)、\(( 1 , 2 , 3 )\)、\(( 2 , 2 , 2 )\) の組合せがある.

順列を考えると、

\(( 1 , 1 , 4 )\) のとき \(3\) 通り

\(( 1 , 2 , 3 )\) のとき \(3!=6\) 通り

\(( 2 , 2 , 2 )\) のとき \(1\) 通り

よって、\(\displaystyle\frac{3+6+1}{6^3}=\displaystyle\frac{5}{108}\)

 

・\(n=4\) のとき

\(4\) 個のさいころを振って出た目の和が \(7\) となればよい.

\(( 1 , 1 , 1 , 4 )\)、\(( 1 , 1 , 2 , 3 )\)、\(( 1 , 2 , 2 , 2 )\) の組合せがある.

順列を考えると、

\(( 1 , 1 , 1 , 4 )\) のとき \(_{4}C_{1}=4\) 通り

\(( 1 , 1 , 2 , 3 )\) のとき \(_{4}C_{2}\times 2=8\) 通り

\(( 1 , 2 , 2 , 2 )\) のとき \(_{4}C_{3}=4\) 通り

(※主たる目的は方針をつかむことであるため、これ以降確率を求める作業は省略)

 

・\(n=5\) のとき

\(5\) 個のさいころを振って出た目の和が \(8\) となればよい.

\(( 1 , 1 , 1 , 1 , 4 )\)、\(( 1 , 1 , 1 , 2 , 3 )\)、\(( 1 , 1 , 2 , 2 , 2 )\) の組合せがある.

順列を考えると、

\(( 1 , 1 , 1 , 1 , 4 )\) のとき \(_{5}C_{1}\) 通り

\(( 1 , 1 , 1 , 2 , 3 )\) のとき \(_{5}C_{2}\times 2\) 通り

\(( 1 , 1 , 2 , 2 , 2 )\) のとき \(_{5}C_{3}\) 通り

 

そろそろ方針が見えてきたのではないだろうか??

まだ見えないのであればさらに続けてみましょう!

解答作成に入る前の注意

方針が見えると、すぐに解答を書きたくなる気持ちはすごく分かる.

しかしここで1度手を止めて、確認して欲しいことがある!

この作業を怠ることで、大きく減点されてしまう可能性がある!!

 

\(n\) の条件の確認をしよう!!

今から自分で作ろうとするその式には、\(n\) の条件はありませんか??

それを一度確認してみてください!!

解答

(ⅰ) \(n=1\) のとき

\(1\) 個のさいころを振って出た目の和が \(4\) となればよい.

つまり \(4\) の目が出ればよいので、\(\displaystyle\frac{1}{6}\)

 

(ⅱ) \(n=2\) のとき

\(2\) 個のさいころを振って出た目の和が \(5\) となればよい.

\(( 1 , 4 )\)、\(( 2 , 3 )\)、(( 3 , 2 )\)、\(( 4 , 1 )\) の \(4\) 通り.

よって、\(\displaystyle\frac{4}{6^2}=\displaystyle\frac{1}{9}\)

 

(ⅲ) \(n≧3\) のとき

\(n\) 個のさいころを振って出た目の和が \(n+3\) となるのは、

(ア) \(( 1 , 1 , \cdots , 1 , 1 , 4 )\)

\(1\) が\(n-1\) 個、\(4\) が \(1\) 個のとき

(イ) \(( 1 , 1 , \cdots , 1 , 2 , 3 )\)

\(1\) が\(n-2\) 個、\(2\) と \(3\) が \(1\) 個ずつのとき

(ウ) \(( 1 , 1 , \cdots , 2 , 2 , 2 )\)

\(1\) が\(n-3\) 個、\(2\) が \(3\) 個のとき

の(ア)~(ウ)のいずれかのときである.

 

(ア)のとき \(_{n}C_{1}\) 通り

(イ)のとき \(_{n}C_{2}\times 2\) 通り

(ウ)のとき \(_{n}C_{3}\) 通り

したがって、\(\displaystyle\frac{_{n}C_{1}+_{n}C_{2}\times 2+_{n}C_{3}}{6^n}=\displaystyle\frac{n(n+1)(n+2)}{6^{n+1}}\) ・・・①

①に \(n = 1 , 2\) を代入してみると、(ⅰ)、(ⅱ)を満たす.

 

以上より、求める確率は \(\displaystyle\frac{n(n+1)(n+2)}{6^{n+1}}\)

補足説明

上の解答の(ⅲ)の(ウ)を処理する際に、\(n-3\) が登場する.

そのため、\(n≧3\) という条件が必要になる.

この条件を見落とし、いきなり解答を作成した場合、答えはあっているかもしれないが、大きく減点される可能性があるため要注意!

 

 

2006年の京都大学の後期試験は、↓の問題がとても有名ですね!

2006 京都大学・後期[第6問] tan 1° は有理数か
初見の問題に対する考え方・方針の立て方について説明。 背理法、加法定理を用いた、有名入試問題。三角関数、加法定理、2倍角、背理法

分野は全く違いますが、良問ですので良かったら参考にしてください。

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