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【整数問題(素数)】n^k+kが素数|実験することの大切さ|2021 東京学芸大学

数学(大学入試問題)

【2021 東京学芸大学・第1問】

\(n+1\)、\(n^2+2\)、\(n^3+3\)、・・・、\(n^k+k\) がすべて素数となるような自然数 \(n\)、\(k\) が存在するとき、\(k\) の最大値を求めよ.

はじめに

パッと見では難しく見える問題かもしれませんが、難しくありません!

この問題が解けていない人の多くは、ただ問題を眺めているだけで、手を動かしていない(実験していない)と思われます

整数問題のPointはたくさんありますが、整数問題の極意は実験!

実験すれば答えが見えてくる問題です.

実験せずに問題が解けなかった(方針が見えなかった)人は、今一度具体的に \(n = 1 , 2 , 3 , \cdots\) と実験をしてみてください.

Point:整数問題の極意➡実験する!

\(n+1\)、\(n^2+2\)、\(n^3+3\)、・・・、\(n^k+k\) ・・・① とおく

具体的に実験

\(n=1\) のとき

①は順に、\(2\)、\(3\)、\(4\) となり、\(4\) は素数ではないため

\(1\)、\(2\) 番目 ( \(k = 1 , 2\) )が素数

よって、\(k\) の最大値は \(2\)

 

\(n=2\) のとき

①は順に、\(3\)、\(6\) となり、\(6\) は素数ではないため

\(1\) 番目 ( \(k = 1\) )が素数

よって、\(k\) の最大値は \(1\)

 

\(n=3\) のとき

最初の数が \(4\) となり、\(4\) は素数ではないため

条件を満たす \(k\) は存在しない

 

\(n=4\) のとき

①は順に、\(5\)、\(18\) となり、\(18\) は素数ではないため

\(1\) 番目 ( \(k = 1\) )が素数

よって、\(k\) の最大値は \(1\)

 

\(n=5\) のとき

最初の数が \(6\) となり、\(6\) は素数ではないため

条件を満たす \(k\) は存在しない



実験から分かったこと

\(n = 2 , 4 , 6 , \cdots\) のとき(\(n\) が偶数のとき)

\(2\) 番目の \(n^2+2\) は \(2\) より大きい偶数となり、素数にならない

➡ \(k\) は高々 \(1\)

※\(n=8\) のとき、\(1\) 番目の \(n+1\) が素数でない

つまり、\(k\) は存在しない または \(1\) となる

このような場合のことを、\(k\) は高々 \(1\) と言う.

\( n = 3 , 5 , 7 , \cdots \) のとき(\(n\) が \(3\) 以上の奇数のとき)

\(1\) 番目の \(n+1\) は \(2\) より大きい偶数となり、素数にならない

➡ これを満たす \(k\) は存在しない


解答

\(n\) が偶数のとき

\(n^2+2\) は \(2\) より大きい偶数となり、素数とならない.

したがって、このとき \(k\) は高々 \(1\) である.

 

\(n\) が \(3\) 以上の奇数のとき

\(n+1\) は \(2\) より大きい偶数となり、素数とならない.

したがって、このとき \(k\) は存在しない.

 

\(n=1\) のとき

\(n+1=2\)、\(n^2+2=3\)、\(n^3+3=4\) となり、\(4\) は素数ではないため

\(1\)、\(2\) 番目 ( \(k = 1 , 2\) )が素数

よって、\(k\) の最大値は \(2\)

 

以上より、題意を満たす \(k\) の最大値は \(2\) である.

 

さいごに

いかがだったでしょう?見た目ほど難しい問題ではなかったと思います。

整数問題においては、方針がつかめないのであればしっかりと実験すること!

最後まで解けなくても、実験することで部分点が取れることも良くあります。

入試問題では、必ずしも経験したことがある問題が出題されるとは限りません。初見の問題に対して、実験から規則や法則を見つけ、そこから解答の方針を見つける演習を!

 

 

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