【2024立命館大学(全学統一)理系】合同式、余り｜31のk乗を7，11で割った余りがともに4となるk

【2024立命館大学(全学統一2/2)・理系・第１問(２)】

解答・解説

$mod 7$ とすると，

$31≡3$ より

$31^2≡3^2≡2$ ・・・［オ］

$31^3≡3^3≡6$ ・・・［カ］

$31^4≡3^4≡4$

$31^5≡3^5≡5$

$31^6≡3^6≡1$ より， $31^k$ を $7$ で割った余りが $1$ となるのは， $k$ が $6$ の倍数のとき・・・［キ］

$mod 11$ とすると，

$31≡-2$ より

$31^2≡(-2)^2≡4$

$31^3≡(-2)^3≡3$

$31^4≡(-2)^4≡5$

$31^5≡(-2)^5≡1$ より， $31^k$ を $11$ で割った余りが $1$ となるのは， $k$ が $5$ の倍数のとき・・・［ク］

上記の結果から，

$31^k$ を $7$ で割った余りが $4$ となるのは，

$k=6x-2$ ( $x$ は自然数 )

$31^k$ を $11$ で割った余りが $4$ となるのは，

$k=5y-3$ ( $y$ は自然数 )　のときであるから，

$6x-2=5y-3$ $\iff$ $6x-5y=-1$ ・・・①

$(x,y)=(4,5)$ は解の $1$ つより

$6\times4-5\times5=-1$ ・・・②

①と②の差をとると

$6(x-4)-5(y-5)=0$

$6(x-4)=5(y-5)$

$6$ と $5$ は互いに素であるから

整数 $m$ を用いて $x-4=5m$

つまり $x=5m+4$

よって， $k=6(5m+4)-2=30m+22$

これを満たす自然数 $k$ で最小のものは

$m=0$ のとき $k=22$ ・・・［ケ］

$5$ 番目に小さいものは

$m=4$ のとき $k=142$ ・・・［コ］