考え方
方針Ⅰ：ド・モアブルの定理、1のｎ乗根の性質利用
ド・モアブルの定理
\(n\) が整数のとき
\((\cos \theta+i\sin \theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta\)
\(z=\cos \displaystyle\frac{2\pi}{7}+i\sin \displaystyle\frac{2\pi}{7}\) とおき、\(z^7=1\) について考える．
1 の n 乗根については、
【数Ⅲ】複素数平面まとめ②(1のn乗根について)｜入試問題演習
によく使う性質等をまとめています．
複素数平面においては頻出テーマになりますので、方針が見えない人は必ず 1 の n 乗根について確認しましょう！
方針Ⅱ：三角関数の積和の公式を利用
積和の公式
\(\sin \alpha\cos \beta=\displaystyle\frac{1}{2}\left\{\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)\right\}\)
与式に \(\sin \displaystyle\frac{2\pi}{7}\) をかけると・・・
解法Ⅰ：複素数平面(ド・モアブルの定理の利用)
\(z=\cos \displaystyle\frac{2\pi}{7}+i\sin \displaystyle\frac{2\pi}{7}\) とおく．
ド・モアブルの定理から、
\(z^7=\cos 2\pi+i\sin 2\pi=1\) より、
\(z^7-1=0\)
\(\iff (z-1)(z^6+z^5+ z^4+ z^3+ z^2+ z+1)=0\)
\(z\not=1\) なので、
\( z^6+z^5+ z^4+ z^3+ z^2+ z+1=0 \cdots ①\)
ここで、①の実部に注目すると、ド・モアブルの定理より、
\(\cos \displaystyle\frac{12\pi}{7}+\cos \displaystyle\frac{10\pi}{7}+\cos \displaystyle\frac{8\pi}{7}+\cos \displaystyle\frac{6\pi}{7}+\cos \displaystyle\frac{4\pi}{7}+\cos \displaystyle\frac{2\pi}{7}+1=0 \cdots ②\)
\(\cos \displaystyle\frac{12\pi}{7}=\cos \left(2\pi-\displaystyle\frac{2\pi}{7}\right)=\cos \displaystyle\frac{2\pi}{7}\)、
\(\cos \displaystyle\frac{10\pi}{7}=\cos \left(2\pi-\displaystyle\frac{4\pi}{7}\right)=\cos \displaystyle\frac{4\pi}{7}\)、
\(\cos \displaystyle\frac{8\pi}{7}=\cos \left(2\pi-\displaystyle\frac{6\pi}{7}\right)=\cos \displaystyle\frac{6\pi}{7}\) となるので、②より
\(2\left(\cos \displaystyle\frac{2\pi}{7}+\cos \displaystyle\frac{4\pi}{7}+\cos \displaystyle\frac{6\pi}{7}\right)+1=0\)
したがって、\(\cos \displaystyle\frac{2\pi}{7}+\cos \displaystyle\frac{4\pi}{7}+\cos \displaystyle\frac{6\pi}{7}=-\displaystyle\frac{1}{2}\)
解法Ⅱ：積和の公式の利用
\(\sin \displaystyle\frac{2\pi}{7}\times\cos \displaystyle\frac{2\pi}{7}=\displaystyle\frac{1}{2}\sin \displaystyle\frac{4\pi}{7} \cdots ①\)
\(\sin \displaystyle\frac{2\pi}{7}\times\cos \displaystyle\frac{4\pi}{7}\\=\displaystyle\frac{1}{2}\left\{\sin \left(\displaystyle\frac{2\pi}{7}+\displaystyle\frac{4\pi}{7}\right)+ \sin \left(\displaystyle\frac{2\pi}{7}-\displaystyle\frac{4\pi}{7}\right)\right\}\\=\displaystyle\frac{1}{2}\left (\sin \displaystyle\frac{6\pi}{7}-\sin \displaystyle\frac{2\pi}{7}\right) \cdots ②\)
\(\sin \displaystyle\frac{2\pi}{7}\times\cos \displaystyle\frac{6\pi}{7}\\=\displaystyle\frac{1}{2}\left\{\sin \left(\displaystyle\frac{2\pi}{7}+\displaystyle\frac{6\pi}{7}\right)+ \sin \left(\displaystyle\frac{2\pi}{7}-\displaystyle\frac{6\pi}{7}\right)\right\}\\=\displaystyle\frac{1}{2}\left (\sin \displaystyle\frac{8\pi}{7}-\sin \displaystyle\frac{4\pi}{7}\right)\)
ここで、\(\sin \displaystyle\frac{8\pi}{7}=\sin \left(2\pi-\displaystyle\frac{6\pi}{7}\right)=-\sin \displaystyle\frac{6\pi}{7}\) より、
\(\sin \displaystyle\frac{2\pi}{7}\times\cos \displaystyle\frac{6\pi}{7}=\displaystyle\frac{1}{2}\left (-\sin \displaystyle\frac{6\pi}{7}-\sin \displaystyle\frac{4\pi}{7}\right) \cdots ③\)
①＋②＋③より
\(\sin \displaystyle\frac{2\pi}{7}\left(\cos \displaystyle\frac{2\pi}{7}+\cos \displaystyle\frac{4\pi}{7}+\cos \displaystyle\frac{6\pi}{7}\right)\\= \displaystyle\frac{1}{2}\left\{\sin \displaystyle\frac{4\pi}{7}+\left(\sin \displaystyle\frac{6\pi}{7}-\sin \displaystyle\frac{2\pi}{7}\right)+\left (-\sin \displaystyle\frac{6\pi}{7}-\sin \displaystyle\frac{4\pi}{7}\right)\right\}\\=-\displaystyle\frac {1}{2}\sin \displaystyle\frac{2\pi}{7}\)
\(\sin \displaystyle\frac{2\pi}{7}\not=0\) より
\(\cos \displaystyle\frac{2\pi}{7}+\cos \displaystyle\frac{4\pi}{7}+\cos \displaystyle\frac{6\pi}{7}=-\displaystyle\frac{1}{2}\)
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