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【2013一橋大学・後期】eのπ乗とπのe乗の大小比較

微分・積分(数学Ⅲ)

【2013一橋大学・後期】

\(e^{\pi}\) と \(\pi^e\) の大小を比較せよ.

解答・解説

\(f(x)=\displaystyle\frac{\log x}{x}\) ( \(x>0\) ) とおく.

\(f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{1-\log x}{x^2}\) より

\(f^{\prime}(x)=0\) とすると

\(\log x=1\) \(\iff\) \(x=e\)

\(x\) \(0\) ・・・ \(e\) ・・・
\(f^{\prime}(x)\) \(0\)
\(f(x)\) ↗️ ↘️

よって,\(y=f(x)\) は \(x>e\) において単調減少なグラフとなる.

\(e<\pi\) より \(f(e)>f(\pi)\)

\(\displaystyle\frac{\log e}{e}>\displaystyle\frac{\log \pi}{\pi}\)

\(\pi\log e>e\log \pi\)

\(\log e^{\pi}>\log \pi^{e}\) であるから

\(e^{\pi}>\pi^{e}\)

\(a^b\) と \(b^a\) の大小については,

\(f(x)=\displaystyle\frac{\log x}{x}\) のグラフを利用することで考えることができます!

頻出・有名入試問題ですので,流れを覚えておきましょう!!

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