【2021数学ⅠA(第1日程)】第２問[１](2次関数)

(１)問題と解答・解説《ア》

ストライドを \(x\) \(m/秒\) ，ピッチを \(z\) 歩/秒， \(100 m\) を走るのにかかった歩数を \(a\) 歩，タイムを \(t\) 秒とおくと，

\(x=\displaystyle\frac{100}{a}\) , \(z=\displaystyle\frac{a}{t}\)

よって，\(xz=\displaystyle\frac{100}{t}\)

したがって，\(t=\displaystyle\frac{100}{xz}\) ・・・《ア：②》

\(z\) が \(x\) の \(1\) 次関数として表されると仮定すると，

\(x\) が \(0.01\) 大きくなると \(z\) が \(0.1\) 小さくなるので，

変化の割合(傾き)は，\(\displaystyle\frac{-0.1}{0.05}=-2\)

よって，\(z=-2x+b\) とおける．

\(x=2.05\) のとき \(z=4.70\) であるから

\(4.70=-2\times 2.05+b\) \(\iff\) \(b=8.8=\displaystyle\frac{44}{5}\)

よって，\(z=-2x+\displaystyle\frac{44}{5}\) ・・・《イ〜オ》

ピッチの最大値が \(4.8\) より

\(4.8≧z\) \(\iff\) \(4.8≧-2x+\displaystyle\frac{44}{5}\)

よって，\(x≧2.00\)

また \(x\) の最大値が \(2.4\) であることから，

\(2.00≦x≦2.40\) ・・・《カ〜ク》

\(y=xz\) とおくと，

\(y=x\left(-2x+\displaystyle\frac{44}{5}\right)=-2\left(x-\displaystyle\frac{11}{5}\right)^2+\displaystyle\frac{242}{25}\)

\(2.00≦x≦2.40\) における \(y\) の最大値は，

\(x=\displaystyle\frac{11}{5}=2.20\) ・・・《ケ〜サ》のとき

\(z=-2\times 2.20+\displaystyle\frac{44}{5}=\)\(4.40\) ・・・《シ〜セ》

このとき，\(t=\displaystyle\frac{100}{xz}=\displaystyle\frac{100}{2.20\times 4.40}=10.330\cdots\)

したがって，《ソ：③ \(10.33\) 》