【2021浜松医科大学・医学部】３つの相加・相乗・調和平均の関係の証明

【2021浜松医科大学・医学部・第１問】

以下の問いに答えよ．なお，必要があれば等式

\(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)

を利用してもよい．

(１)　実数 \(a\)，\(b\)，\(c\) に対して，不等式

\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca≧0\)

を証明せよ．また，等号が成り立つときの \(a\)，\(b\)，\(c\) の条件を求めよ．

(２)　正の実数 \(x\)，\(y\)，\(z\) に対して，\(P\)，\(Q\)，\(R\) を

\(P=\displaystyle\frac{x+y+z}{3}\)，\(Q=\sqrt[3]{xyz}\)，\(\displaystyle\frac{1}{R}=\displaystyle\frac{1}{3}\left(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}+\displaystyle\frac{1}{z}\right)\)

とおく．このとき，不等式 \(P≧Q≧R\) を証明せよ．また，各等号が成り立つときの \(x\)，\(y\)，\(z\) の条件を求めよ．

解答・解説
1. (１)
2. (２)３文字の相加・相乗・調和平均の関係

解答・解説

(１)

\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\left\{(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)\right\}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{2}\left\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right\}≧0\)

\(a=b\) かつ \(b=c\) かつ \(c=a\)

つまり、\(a=b=c\) のとき

上の証明方法は有名な流れです！

他の証明方法は下記を参考に！

【数学Ⅱ】不等式の証明（まとめ）解法５つ

大学受験で使える、不等式の証明のまとめ５つ（基本〜発展）。系統的に考え方・思考の仕方のまとめ。定期考査・大学受験対策３つの相加平均・相乗平均の関係の証明

(２)３文字の相加・相乗・調和平均の関係

正の実数 \(x\)，\(y\)，\(z\) に対して，\(P\)，\(Q\)，\(R\) を

\(P=\displaystyle\frac{x+y+z}{3}\)，\(Q=\sqrt[3]{xyz}\)，\(\displaystyle\frac{1}{R}=\displaystyle\frac{1}{3}\left(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}+\displaystyle\frac{1}{z}\right)\)

とおく．このとき，不等式 \(P≧Q≧R\) の関係を

「相加平均・相乗平均・調和平均の関係」と言います。

とても有名で，入試頻出問題ですからぜひ覚えておきましょう！

また，２文字については「相加・相乗・調和平均の関係・証明【2008奈良女子大学】」を参考に！

相加・相乗・調和平均の関係・証明【2008奈良女子大学】

相加平均・相乗平均・調和平均(逆数の平均の逆数)の大小関係の証明と利用。頻出・重要不等式。

正の実数 \(X\)，\(Y\)，\(Z\) に対して，(１)の結果から

\(X^2+Y^2+Z^2-XY-YZ-ZX≧0\) が成立する．

この不等式に，\(X+Y+Z≧0\) をかけると

\((X+Y+Z)(X^2+Y^2+Z^2-XY-YZ-ZX)≧0\)

\(X^3+Y^3+Z^3-3XYZ≧0\)

よって，\(\displaystyle\frac{X^3+Y^3+Z^3}{3}≧XYZ\)

等号成立は，\(X=Y=Z\) のとき

ここで，\(X=\sqrt[3]{x}\)，\(Y=\sqrt[3]{y}\)，\(Z=\sqrt[3]{z}\) とすると

\(\displaystyle\frac{x+y+z}{3}≧\sqrt[3]{xyz}\)

つまり，\(P≧Q\) が成立．

等号成立は，\(\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{y}=\sqrt[3]{z}\)

つまり，\(x=y=z\) のとき

次に，\(X=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\)，\(Y=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{y}}\)，\(Z=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{z}}\) とすると

\(\displaystyle\frac{1}{3}\left(\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{y}+\displaystyle\frac{1}{z}\right)≧\displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{xyz}}\)

つまり，\(\displaystyle\frac{1}{R}≧\displaystyle\frac{1}{Q}\)

\(Q\)，\(R\) は正より逆数をとると \(Q≧R\) が成立．

等号成立は，\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{x}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{y}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{z}}\)

つまり，\(x=y=z\) のとき

したがって，\(P≧Q≧R\) が成立し，等号成立は \(x=y=z\) のとき