連続関数となる条件｜大阪府立大学

【大阪府立大学】

\(f(x)=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{x^{2n+1}+ax^2+bx+1}{x^{2n}+1}\) がすべての実数 \(x\) について連続となるように \(a\) , \(b\) の値を定めよ．

関数の連続性について
解答・解説

関数の連続性について

\(a\) を関数 \(f(x)\) の定義域に属する値とするとき，関数 \(f(x)\) が \(x=a\) で連続であるとき

極限値 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)\) が存在する
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a) \) が成り立つ

解答・解説

\(f(x)=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{x^{2n+1}+ax^2+bx+1}{x^{2n}+1}\)

・\(-1<x<1\) のとき

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x^{2n}=0\) より

\(f(x)=ax^2+bx+1\)

・\(x=-1\) のとき

\(f(x)=\displaystyle\frac{a-b}{2}\)

・\(x=1\) のとき

\(f(x)=\displaystyle\frac{a+b+2}{2}\)

・\(x<-1 , 1<x\) のとき

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x^{2n}=\infty\) より

\(f(x)=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{x^{2n+1}+ax^2+bx+1}{x^{2n}+1}\)

\(=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \displaystyle\frac{x+\displaystyle\frac{ax^2+bx+1}{x^{2n}}}{1+\displaystyle\frac{1}{x^{2n}}}\) ( \(x\not=0\) ) なので

\(f(x)=x\)

よって，\(f(x)\) がすべての実数 \(x\) に対して連続であるためには，\(x=\pm1\) で連続であることが必要十分である．

\(x=1\) で連続であるための条件は，

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1-0}(ax^2+bx+1)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1+0}x=\displaystyle\frac{a+b+2}{2}\)

よって，\(a+b=0\) ・・・①

\(x=-1\) で連続であるための条件は，

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -1+0}(ax^2+bx+1)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow -1-0}x=\displaystyle\frac{a-b}{2}\)

よって，\(a-b=-2\) ・・・②

①，②より \(a=-1\) , \(b=1\)

【関数の微分可能性と連続性】「微分可能⇒連続」の逆は偽の判例(具体例)

連続性、微分可能性の定義。また「微分可能ならば連続である」の命題は真であるが、逆命題は偽である。逆の反例について具体的な例題を紹介。入試頻出・重要問題の演習問題。f(x)=xsin(1/x)(x≠0),0(x=0)について。数学Ⅲ：微分