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【2012京都大学】空間図形・正四面体|△PQRが正三角形ならばAB,BC,CAはPQ,QR,RPと平行

数学(大学入試問題)

【2012京都大学】

正四面体 \(OABC\) において,点 \(P\) , \(Q\) , \(R\) をそれぞれ辺 \(OA\) , \(OB\) , \(OC\) 上にとる.

ただし \(P\) , \(Q\) , \(R\) は四面体 \(OABC\) の頂点とは異なるとする.\(\triangle PQR\) が正三角形ならば,\(3\) 辺 \(PQ\) , \(QR\) , \(RP\) はそれぞれ \(3\) 辺 \(AB\) , \(BC\) , \(CA\) に平行であることを証明せよ.

考え方・方針

\(PQ // AB\) , \(QR // BC\) ,  \(RP // CA\) であることを示すためには,

\(OP:OA=OQ:OB=OR:OC\) であることが示せればよい.

ここで,正四面体 \(OABC\) であり,「比」が分かれば良いので,

\(OA=OB=OC=1\) として一般性を失わない.

したがって,実数 \(s\) , \(t\) , \(u\) は \(0<s<1\) , \(0<t<1\) , \(0<u<1\) として

\(\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}\) , \(\overrightarrow{OQ}=t\overrightarrow{OB}\) , \(\overrightarrow{OR}=u\overrightarrow{OC}\) のとき,

\(s=t=u\) を示すことが出来ればよい.

\(OA=OB=OC=1\) とおくことで,煩雑な計算を簡略化することができる!

解答

正四面体 \(OABC\) の \(1\) 辺の長さを \(1\) として一般性を失わない.

\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}\) とおく.

このとき,

\(\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|=1\) かつ

\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a}=\displaystyle\frac{1}{2}\) ・・・①

ここで,\(\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{OQ}=t\overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{OR}=u\overrightarrow{c}\) とおく.

ただし \(s\) , \(t\) , \(u\) は \(0<s<1\) , \(0<t<1\) , \(0<u<1\) をみたす実数.

仮定より \(\triangle PQR\) が正三角形であるから,

\(\left|\overrightarrow{PQ}\right|=\left|\overrightarrow{PR}\right|\)

\(\left|\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}\right|=\left|\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OP}\right|\)

\(2\) 乗して式をまとめると

\(\left|\overrightarrow{OQ}\right|^2-\left|\overrightarrow{OR}\right|^2-2\left(\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OR}\right)\)

よって,\(t^2\left|\overrightarrow{b}\right|^2-u^2\left|\overrightarrow{c}\right|^2-2\left(st\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-su\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}\right)\)

①より,\(t^2-u^2-st+su=0\)

\((t-u)(t+u)-s(t-u)=0\)

\((t-u)(t+u-s)=0\)

よって,\(t=u\) または \(s=t+u\) ・・・②

次に, \(\triangle PQR\) が正三角形であるから,

\(\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PR}=\left|\overrightarrow{PQ}\right|\left|\overrightarrow{PR}\right|cos 60°\)

\(\left(\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}\right)\cdot\left(\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OP}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}\right|^2\)

\(\left(t\overrightarrow{b}-s\overrightarrow{a}\right)\cdot\left(u\overrightarrow{c}-s\overrightarrow{a}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}\left|t\overrightarrow{b}-s\overrightarrow{a}\right|^2\)

これを展開し①を代入して式をまとめると

\(s^2-t^2-su+tu=0\)

\((s-t)(s+t)-u(s-t)=0\)

\((s-t)(s+t-u)=0\) ・・・③

②より,

( ⅰ ) \(t=u\) のとき

③ \(\iff\) \((s-u)s=0\)

\(0<s<1\) であるから,\(s=u\)

したがって,\(s=t=u\)

( ⅱ ) \(s=t+u\) のとき

③ \(\iff\) \(2tu=0\)

\(t=0\) または \(u=0\) となるが,これは \(0<t<1\) , \(0<u<1\) に不適

 

以上より,\(s=t=u\)  であるから

\(OP:OA=OQ:OB=OR:OC\)

つまり,\(PQ // AB\) , \(QR // BC\) ,  \(RP // CA\) が成り立つ.

OAとBC,OBとAC,OCとABが垂直で4つの面積が等しい四面体OABC⇒正四面体【2003京都大学】
京大頻出の四面体に関する論証問題。四面体が正四面体となるための同値条件についての証明問題。 京大過去問演習。数学B空間ベクトル。

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