【2021数学ⅡB(第２日程)】第４問(数列)
(１)問題と解答・解説《ア〜オ》
(１)解答・解説《ア〜オ》
\(n\) 年目の初めの預金が \(a_{n}\) 万円のとき，
\(n\) 年目の終わりの預金は \(1.01\times a_{n}\) 万円となる．
よって \(n+1\) 年目の初めの預金は， \(a_{n}+p\) 万円であるから，
\(a_{3}=1.01\times a_{2}+p=\)\(1.01\left\{1.01(10+p)+p\right\}+p\) ・・・《ア：②》
が成り立ち，また，
\(a_{n+1}=1.01a_{n}+p\) ・・・《イ：⓪，ウ：③》
二項間の特性方程式型の頻出形態！！
あとは特性方程式を解いてあげればOKですね！
漸化式に不安がある人は必ず，
は最低でも確認しておくように！
\(a_{n+1}=1.01a_{n}+p\) ・・・①
\(\alpha=1.01\alpha+p\) ・・・②
② \(\iff\) \(\alpha=-100p\)
①と②の差をとると
\(a_{n+1}-\alpha=1.01(a_{n}-\alpha)\)
よって，\(a_{n+1}+100p=1.01(a_{n}+100p)\) ・・・《エ：④，オ：⓪》
と変形でき，\(a_{n}\) を求めることができる．
(１)問題と解答・解説《カ〜ケ》
(１)解答・解説《カ〜ケ》
・\(1\) 年目の初めに入金した \(p\) 万円は，
\(n\) 年目の初めには \(p\times 1.01^{n-1}\) 万円・・・《カ：②》
・\(2\) 年目の初めに入金した \(p\) 万円は，
\(n\) 年目の初めには \(p\times 1.01^{n-2}\) 万円・・・《カ：③》
・・・
・\(n\) 年目の初めに入金した \(p\) 万円は，
\(n\) 年目の初めには \(p\) 万円のままである．
これより
\(a_{n}=10\times 1.01^{n-1}+p\times 1.01^{n-1}+p\times 1.01^{n-2}+\cdots+p\)
\(=10\times 1.01^{n-1}+p\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{1.01^{k-1}}\) ・・・《ク：②》
となることがわかる．
ここで，\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{1.01^{k-1}}\) は初項が \(1\)，公比が \(1.01\)，項数 \(n\) の等比数列の和であるから
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{1.01^{k-1}}=\displaystyle\frac{1.01^n-1}{1.01-1}=\)\(100(1.01^n-1)\) ・・・《ケ：①》
(２)問題と解答・解説《コ〜セ》
(２)解答・解説《コ〜セ》
\(10\) 年目の終わりの預金は \(1.01a_{10}\) 万円・・・《コ：③》
(１)の結果から，\(r=1.01\) とおくと
\(a_{n}=10r^{n-1}+100p(r^n-1)\) なので
\(a_{10}=10r^{9}+100p(r^{10}-1)\)
よって，\(1.01a_{10}≧30\)
\(\iff\) \(10r^{10}+101p(r^{10}-1)≧30\)
\(\iff\) \(101p(r^{10}-1)≧30-10r^{10}\)
\(\iff\) \(p≧\displaystyle\frac{30-10r^{10}}{101(r^{10}-1)}\) ・・・《サ〜セ》
(３)問題と解答・解説《ソ》
(３)解答・解説《ソ》
\(r=1.01\) とおく．\(a_{n}=10r^{n-1}+100p(r^n-1)\) であり，
(１)と同様に考えていくと
\(1\) 年目の入金を始める前に \(13\) 万円の預金がある場合，
\(n\) 年目の初めの預金を \(b_{n}\) 万円とすると
\(b_{n}=13r^{n-1}+100p(r^n-1)\)
これらの差を考えると
\(b_{n}-a_{n}=3r^{n-1}=\)\(3\times 1.01^{n-1}\) ・・・《ソ：⑧》
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